TRACEES SUR UNE SURFACE QUELCONQUE. 39 



les intégrales s' étendant à Taie AB loul entier. D'autre pari, si l'on réporte 

 celle courbe sur la sphère, et que Ton applique la même équation à la 

 transformée de Parc AB, en observant que sur la sphère tfj> est nul, parce 

 que deux tansenles conjuguées se coupent toujours à angle droit , on ob- 

 liendra 



fdK'—fde' = 0; 



et, à cause de la relation d'ç = d'(,' , 



? "->'=fds'-fd, 



On a donc ce théorème : Une courbe quelconque étant tracée sur une 

 surface;, l'angle compris entre la tangente à cette courbe et sa conjuguée varie, 

 quand on passe d'un, point A à un autre point quelconque B sur la courbe, 

 d'une quantité égale à la différence entre ta courbure géodésique totale île 

 l'arc AB, et celle de sou correspondant sur la spliére. 



Si la courbe proposée était une ligne de courbure , l'angle y serait constant, 

 et y" — y' serait nul; donc, dans une telle ligue, un arc de longueur quel- 

 conque a toujours même courbure géodésique totale , que son correspondant 

 sur la sphère. 



On verrait facilement, par des considérations analogues, que quand une 

 surface développable est circonscrite à deux surfaces données, suivant deux 

 courbes fermées, les courbures géodésiques totales des courbes de contact, 

 sur leurs surfaces respectives, sont égales entre elles. 



2" Reprenons l'expression de la courbure totale d'une portion de sur- 

 face terminée par un contour fermé, telle qu'on l'obtient immédiatement, 

 savoir : 



Appliquons-la à un triangle ABC formé d'arcs de courbes quelconques. 

 Soient A'B'C son correspondant sur la sphère, j ~ la somme des courbures 

 géodésiques totales des côtés du triangle A'B'C; nous aurons, en raisonnant 



comme ci-dessus, 



r.ds' 



: = A' + B' + C'-î-/ 



J ii' 



