iO SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES LIGNES 



Remarquons maintenant qu'il résulte, du mode de construction même du 

 triangle A'B'C, que l'angle A' est égal à l'angle compris entre les deux plans 

 menés, par la normale en A à la surface proposée, parallèlement aux nor- 

 males en deux points infiniment voisins de A, pris respectivement sur les 

 cotés AB, AC. L'angle A' est donc égala l'angle A,, compris entre les con- 

 juguées respectives des tangentes aux deux côtés de l'angle A, menées du 

 point A, dans le même sens à partir de ces tangentes (*). Pour abréger, nous 

 dirons que A, est le conjugué de l'angle A. Désignons aussi par B,, C, , les 

 conjugués respectifs des angles B et C, déterminés de la même manière, et 

 nous aurons 



A' = A,, B' = B n C' = C„ 



fils' 



ï = A, -4- B, -t- C, — r. — / — - ■ 



«/ 9 



On peut donc, dans l'expression de la courbure totale d'un triangle ABC, 

 donnée par M. Bonnet , remplacer les courbures gèodésiques totales des cotes 

 du triangle par celles de leurs correspondants sur la sphère, pourvu que 

 l'on remplace en même temps les angles du triangle ABC par leurs con- 

 jugués. 



Dans certains cas, où \ %■ s'exprime assez simplement, on tire de là des 

 théorèmes analogues à celui de Causs. 



En premier lieu, supposons que les côtés du triangle ABC appartiennent 

 aux courbes de contact de trois cylindres, circonscrits à la surface que l'on 

 considère. Les normales à la surface, menées par les différents points d'un 

 même côté du triangle, sont parallèles à un même plan, donc les rayons de 

 la sphère qui leur sont parallèles tombent dans u\\ même plan; le triangle 

 transformé A'B'C est composé d'arcs de grands cercles, et l'on a 



./' 



fis' 



- = o , 2 = A, -+- B, -i- Q, — -. 



9' 



i'j De cette remarque, combinée avec notre équation (3), on déduit sans peine que le rap- 

 port de la courbure totale d'un élément de surface, à l'aire de cet élément, est égal à — . Réci- 

 proquement, ce dernier théorème fournit une démonstration géométrique très-simple de la 

 formule (ô). 



