TRACÉES SUR UNE SURFACE QUELCONQUE. il 



Ainsi, lorsque les courbes de contact de trois cylindres circonscrits à une 

 même surface se coupent, de manière à former un triangle , l'intégrale f/^ r 

 (où da désigne l'élément de surface) , étendue à tous les éléments de la surface 

 du triangle ABC, est égale à l'excès de la somme des conjugués des angles 

 du triangle, sur deux angles droits. 



Cela s'applique, par exemple, aux triangles formés sur la surface d'un 

 ellipsoïde par des sections diamétrales. Si Ton admet en outre que ces sec- 

 lions diamétrales soient conjuguées, on trouvera sans peine 



A. — w — A, B 4 = 7r — B, C,-=ir— C, 



d'où 



z = 2t — (A •+- B + C). 



Ainsi Vinlégrale I j ~ l} étendue à tous les éléments de la surface du triangle 

 formé , sur un ellipsoïde, par trois sections diamétrales conjuguées quel- 

 conques , a pour valeur ta demi-surface sphérique, moins la somme des 

 angles du triangle. 



Considérons encore le cas où les normales à la surface, menées aux diffé- 

 rents points d'un même côté du triangle ABC, feraient un angle constant 

 avec une direction donnée. Le côté AH aurait pour transformé, sur la sphère, 

 un arc de petit cercle A'B', dont la courbure géodésique totale sérail égale à 

 l'angle des génératrices extrêmes du cône circonscrit à la sphère suivant A'B', 

 après le développement du cône. Soient donc '/, l'inclinaison de la normale 

 en un point de AB sur la direction fixe, l'angle au centre qui répond , dans 

 le petit cercle, à l'arc A'B'; S cos 1 sera la courbure géodésique totale de 

 l'arc A'B'. D'un autre côté, A' étant l'angle compris entre les normales à la 

 surface, menées par les points A et B, nous avons 



d'où 

 ou bien 



Donc entin 



cos N = cos 2 l -+- siir 1 cosfl , 

 I — cos N = (-1 — cos 0) siir / , 



- = sur — 

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