TRACÉES SUR UNE SURFACE QUELCONQUE. 13 



Ainsi : Les flexions d'une surface suivant deux directions arbitraires, en un 

 même point, sont entre elles comme les sinus des angles respectifs que forme 

 chacune de ces directions avec la conjuguée de l'autre. 



Ce théorème se déduirait aussi, bien simplement, de nos équations (1) 



et (2). 



Observons d'ailleurs, comme dans la démonstration de la relation (4), que 

 l'angle compris entre le plan NMT, (fig. 2), et le plan parallèle aux normales 

 en M et en M. 2 , est égale à y 3 — ~; qu'une remarque semblable s'applique 

 à l'angle y, — 0; et nous verrons que l'équation (10) peut encore s'énoncer 



ainsi : 



Si par deux points M, et M. 2 , pris à des distances égales et infiniment 

 petites d'un point M, sur la surface, .ou mène à celle-ci des normales, et que 

 l'on projette ces normales, chacune sur le plan passant par le point d'inci- 

 dence de l'autre et par la normale en M, les deux projections seront égale- 

 ment inclinées sur la normale en 31, et dans le même sens pur rapport aux 

 tangentes MT,, MT 2 . 



Dans le cas particulier où les directions .MM,, MM 2 l'ont un angle droit, 

 on retrouve un théorème connu, dû à M. Bertrand (*). 



(**) Désignons maintenant par R,, R.,, les rayons de courbure, au point M, 

 des sections normales tangentes respectivement à MT,, MT., (***), et pat* -> 

 — , les torsions géodésiques respectives des lignes c, et c 2 , au même point (*** A ). 

 L'équalion (5) revient à 



sin ?, I 



?i _ 

 >T "B, 



D'autre part, le triangle N'NN'" (fig. 2) montre immédiatement que 



(') Journal île mathématiques pures et appliquées , i. IX, p. 137. 



(**) Les formules (1 1), (13), et les conséquences qui en découlent, n'ont été présentées à 1 Aca- 

 démie que dans sa séance du 1 er février. 



(***) Ils sont comptés négativement dans le sens MX, positivement dans le sens opposé. 



(****) A l'exemple de M. Picart (Thèse sur la théorie géométrique îles surfaces, p. 9), nous 

 appelons torsion géodésique d'une ligne MM, [fig. 2), la limite du rapport de l'inclinaison de 

 la normale en M, sur le plan NMT,, à l'arc MM, ; ce rapport étant positif ou négatif, suivant que 

 la normale en M, tombe, par rapport au plan NMT,, du même côté que MP, ou du côté opposé. 



