16 SUR LA THEORIE GENERALE DES LIGNES 



Donc, lorsque deux séries de courbes, c, et c 2 , se coupent orlhogonalement 

 sur une surface: 1° le carré de la déviation d'une courbe c, est égal à la somme 

 des carrés des deux courbures géodésiques de sa trajectoire orthogonale e n _au 

 même point; 2" la tangente de l'inclinaison du rayon de déviation de la 

 courbe c,, sur le plan tangent , est égale au rapport entre la torsion géodé- 

 sif/ue de cette trajectoire et sa courbure géodésique , pris en signe contraire. 



Dans le cas particulier où les lignes c 2 sont des lignes géodésiques, - est 

 égal à zéro, el par suite, 



i i 



-«=±-. tang(Ji,P) = oc; 



ainsi le rayon de déviation de la trajectoire orthogonale d'un système de lignes 

 géodésiques, en un point, est égal au rayon de torsion de la ligne géodésique 

 qui passe par ce point : et il est dirigé suivant la normale à la surface. 



3° Reprenons le cas général, et considérons la déviation y d'une courbe 

 c. 2 . En menant une perpendiculaire MI\ au plan NMT 8 , dans le sens du mou- 

 vement direct par rapport à la normale MN , et en raisonnant comme au § II, 

 on obtient 



sin^jjP,) sin (y, — 9) cos(c? 2 , P,) I de 



g, ds, 



De là on tire, eu égard aux relations (11 ) : 



à la surface, menés par deux éléments consécutifs de la courbe c s ; il faudrait donc, si la re- 

 marque de M. Picart était vraie, que — fût égal à zéro : cela n'a lieu que pour une ligne de cour- 

 bure. Ainsi, quand les deux séries de lignes orthogonales coïncident avec les lignes de courbure 

 de la surface, le rayon de déviation d'une ligne c, est égal au rayon de courbure géodésique de 

 sa trajectoire. 



