18 SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES LIGNES 



Si , partant de la même équation (3), on se borne à développer sin (y 2 — ?l 

 et à faire usage des relations (14) , on obtiendra celte nouvelle expression : 



sine / i I 



— = 1 sin -+- ■ cos 8 ; 



R'R" \R,R 2 nrJ 



— -—) 



ce qui se réduit, lorsque S est un angle droit, à 



i t 1 



Dans le cas où les courbes c\ sont des lignes géodésiques, on retrouve une 

 formule de Bour (*). 



S V. 



L'équation (9) du paragraphe précédent, combinée avec la relation (7), per- 

 met d'exprimer les variations des arcs infiniment petits des lignes coordon- 

 nées, supposées quelconques, en fonction de leurs courbures géodésiques. Il 

 en résulte de nouvelles propriétés intéressantes des systèmes de courbes tra- 

 cées sur une même surface. 



Faisons coïncider la direction OX, dans l'équation (9), avec la droite MP 

 normale au plan NMT,. Nous aurons 



cos (T, , X) = o , cos [T„ X) = sin 8 , 



d'où 



didSï cos(o , 1 ,P) cos(<J s , P) 

 sin 6. . . . = 



ds^ls* r J| A 



De la même manière, en faisant coïncider OX avec MP„ on trouverait 



d.,ds, COS((?i,P|) ros (o^ , P t ) 



S1 "*V/ = — r ; 



(*) Journal de l'École poli/technique, XXXIX e cahier, p. 2b. 



