20 SIR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES LIGNES 



est constante : elle est égale au cosinus de l'angle d'intersection (*). Lorsque 

 l'angle S esl droit, d { ds 3 est nul, el Ton retrouve un théorème de Gauss. 



Pour procéder à d'autres applications des formules (14.), commençons par 

 y substituer, à - :< *" P) et à *^*>L>L } i eurs valeurs respectives 



i de i ds 



fjî ik-i <j, ds, 



ce qui donnera 



,/,(/s, I p de l\ de\ 



^— - = ■ — + — rose h 



] dstdSi sine |</ 2 f <s. 2 V'/i " ,s *' 



•_f(i_*)„._(i + *n. 



me [_\(/ i dsJ \(jt ds,/ J 



(15) { 



dstdst 



Transformons, au moyen de ces relations, l'équation (8), qui, étant déve- 

 loppée, devient 



sine \(jj \gj I ilJs, I d,ds 2 rf^e 



R'R' ' </s 2 ds ( </i ds t ds t (ji ds l ds i ds,dst 



Nous obtiendrons une équation (pie nous pouvons mettre sous la forme : 



' \gj \gj . sin 2 e I I 2cose 



— r : Sin 6 = -H : H ; 



rfs 2 f/s, H IV </,- </ 2 - '/i'/.» 



1 coso\ de /cose I \ de . </-« 



sin e 



is. 



r/, 3, / ds, \ 7, <y,./ ds s rfs,rf, 



Celte formule peut être regardée comme une généralisation de celle que 

 l'on doit à M. Ronnet, dans le cas où les courbes sont orthogonales (**), et des 

 théorèmes de M. Lamé, sur les variations des courbures des intersections de 



(*) M. Catalan a démontré ce théorème, en 1848, pour un quadrilatère de grandeur finie, 

 formé par deux génératrices rectilignes d'une surface gauche, et par deux trajectoires (Voir ses 

 Recherches sur les surfaces gauches , p. 12). 



(*') Mém. cité, p. 53. 



