TRACEES SUR UNE SURFACE QUELCONQUE. 



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surfaces se coupant à angle droit (*). On simplifie beaucoup la relation précé- 

 dente lorsqu'on y suppose l'angle 6 constant, ou d$ nul : elle devient alors 

 l'équation suivante, qui constitue une belle propriété des trajectoires obli- 

 ques sur une surface quelconque : 



Supposons que la surface, à laquelle appartiennent les lignes c, et c 2 , se 

 réduise à un plan : ^„ devient nul, les courbures géodésiques -,- des 

 lignes coordonnées, se réduisent à leurs courbures simples, et Ton a 



rfs s 



SUIS: 



1 



Pi' 



i 



pt 



2cos0 



Pipt 



Il est facile de mettre cette équation sous la forme suivante, en représentant 

 par p la perpendiculaire abaissée du point d'intersection M des lignes c, et 

 c 2 , sur la droite qui joint leurs centres de courbure : 



■ii'- 



ils. 



ils. 



sin B 

 F ' 



Ainsi, les variations des courbures des trajectoires planes c, et c 2 en un 

 même point, suivant leurs arcs réciproques, divisées par ces arcs infiniment 

 petits, diffèrent d'une quantité égale au sinus de l'angle constant d'intersec- 

 tion, divisé par le carré de la distance de ce point à la droite qui joint les 

 centres de courbure. 



Lorsque 9 = |, on retrouve une formule de M. Lamé. — Si les lignes c 2 

 se réduisent à des droites, on a simplement 



dp, 

 ds. 



I 



— î 

 sin 4 



ce qui ramène à une proposition bien connue. 



(") Leçons sur les coordonnées curvilignes, p. 81. 



