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SUR LA THEORIE GÉNÉRALE DES LIGNES 



Fig. 6. 



M. 0. Bonnet a donné, dans son mémoire déjà cilé (*), la condition à 

 laquelle doivent satisfaire deux séries de lignes, se coupant orthogonalement 

 sur une surface, pour que celle-ci soit décomposée en carrés infiniment 

 petits. 



Je vais chercher, au moyen des formules (15), à résoudre le problème 



correspondant pour deux séries de lignes c, 

 et c 2 , qui se coupent sous un angle variable 

 quelconque (**). 



Considérons les quadrilatères infiniment 

 petits, formés par trois lignes consécutives 

 p\ de chacun des deux systèmes c, et c 2 {fiy. 6). 

 On peut toujours, en choisissant convenable- 

 ment les paramètres des lignes coordonnées, satisfaire aux conditions 



MM,=MN, M,M, = M,X n NN, = NP, 



ou, suivant les notations adoptées, à celles-ci : 



ds, = rfs 2 , ds, -4- </,r/.s, = d.i., -+- d,ds<,, ds, -+- (hds, = ils., -+- iLds». 



11 suffit donc de s'assurer si NjP,P 2 N 3 est un losange, ou si l'on a 

 NjN a = N,P 1} c est-à-d i re 



ds, -+- d^ds, ■+- il, (ds, ■+■ il.,ds,) = ds., -+- rf,ds 2 + il, (ds, ■+■ d^ds.,); 



équation qui se réduit, en vertu des précédentes, à celle-ci : 



d t (il. 2 ds,) = dî{didSî). 



Telle est la condition à laquelle doivent satisfaire les deux systèmes 



(*) Sur lu théorie générale des surfaces, p. Wi. 



(") Ce qui suit, jusqu'au § VI, a été présenté à l'Académie, le 1" lévrier I8G8. 



