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Le chapitre III comprend une généralisation très inté- 

 ressante d'une formule de M. Pochhammer, relative à des 

 intégrales définies multiples apparentées aux fonctions 

 eulériennes. La généralisation se rapporte aux chemins 

 d'intégration qui sont composés de doubles-circuits, c'est- 

 à-dire de systèmes de deux lacets parcourus successive- 

 ment dans les deux sens opposés. 



Les résultats obtenus trouvent leurs applications aux 

 chapitres IV et V. L'auteur exprime les solutions de 

 l'équation hypergéométrique des fonctions ^, sous forme 

 d'intégrales multiples à doubles-circuits. 



L'élude des équations du troisième et du quatrième 

 ordre est d'abord présentée pour faciliter l'examen du cas 

 général. Les solutions de l'équation d'ordre n sont données 

 en intégrales définies n — \ uples, relatives à une -même 

 fonction. Quand les paramètres p de (0^ satisfont à certaines 

 conditions, les intégrales multiples peuvent être obtenues 

 comme application des formules par lesquelles M. Poch- 

 hamer a exprimé les solutions de l'équation E{n — \, 

 n — 2). 



Le mémoire se termine par l'étude de particularités 

 correspondant à des valeurs spéciales des constantes p. 



Pour ne pas reproduire de longues formules, je crois 

 devoir me borner à cette analyse succincte; elle sera suf- 

 fisante, je l'espère, pour montrer l'intérêt que présentent 

 les recherches de M. Beaupain, 



J'ai l'honneur de proposer à la Classe d'ordonner l'im- 

 pression du travail dans les Mémoires in-4*. » 



Cette proposition, à laquelle se rallient MM. De Tilly et 

 Le Paige, est adoptée par la Classe. 



