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 Geometrischc Vntersuchungen zur Théorie der Parallelen- 

 tinien, n" 20. 



Celle propriélc caractérise la Géojnélrie euclidienne. 

 La Géomélrie non enclidirnne de LobatchelVky esl caracté- 

 risée par la troisième allcrnative : la somme des trois 

 angles d'un triangle est inférieure à deux droits. 



9. Mélarjcomélrie. La Géométrie générale ou Méla- 

 géomèlrie comprend donc trois subdivisions : la Géométrie 

 riemannienne, la Géométrie lobatchefskienne et la Géomé- 

 lrie euclidienne. 



On peut déduire des propriétés 6, 7, 8, les relations 



b\ . le 



0" = f> -+- C", 



entre les côtés a, 6, c d'un triangle rectangle; k et / sont 

 des longueurs constantes (*). Ces relations caractérisent les 

 trois sortes de Géométries au point de vue métrique. 

 Analyliquement, la première et la seconde relation se 

 déduisent l'une de l'autre en posant l = A: v—-i et don- 

 nent la troisième pour / == oo ou /: = oo . 



(*) Pour la dcmonstralion des deux premières formules, voir, par 

 exemple, le cliapilrc IV de VEssai de M. De Tilly cité plus liaut; ou 

 encore, pour la seconde, un excellent article de M. Gérard, dans les 

 Nouvelles Annales de Matficiiiattques, février 1895, pp. 74-8 i; pour 

 la première, notre article cilé plus haut, ou la brochure inlilulcc: 

 Principes fondamentaux de la Gcomclrie non euclidienne de [iicmann 

 (Paris, Gauthier-Villars et fîls, 1895), où nous avons réuni ceux de 

 nos articles cités dans celte note et quelques autres publiés antérieu- 

 rement. 



