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aussi la droite A 13, pour la seconde fois, en B. [Matliesis, 

 i89o, pp. 63 64) 



On appelle Géométrie riemannienne ou Géométrie non 

 euclidienne de Riemann, la géoraélrie où les droiles issues 

 d'un même point jouissent de la propriété précédente. 



5. Remarque. On peut établir d'une manière rigou- 

 reuse, comme l'a fait Euclide, dans son premier livre, les 

 pro|)Osilions qui précèdent la théorie des parallèles, même 

 si les droiles jouissent de la propriété signalée au n° 4, 

 pourvu que les côtés des triangles considérés aient une 

 longueur inférieure à la distance 2A des deux points d'in- 

 lersection successifs de deux droites. 



6. Théorème En Géométrie riemannienne, la somme 

 des (rois angles d'un triangle est toujours supérieure à deux 

 droits. 



Ce théorème se démontre comme le théorème analogue 

 pour un triangle sphérique, par une construction simple, enj- 

 piunléeà Evcude,], iQ. {\o\r Mathesis, 1894, pp. 180-181.) 



7. Théorème. En Géométrie non riemannienne, la 

 somme des trois angles d'un triangle est égale ou inférieure 

 à deux droits. 



Ce théorème se démontre par la même construction, 

 comme Ta montré Legendre, dans ses Eléments de Géo- 

 métrie, 12""" édition, I, 19. 



Toutefois, Legendre admet, sans preuve, que la limite 

 de l'angle obtus croissant qu'il considère est toujours égale 

 à deux droits; mais on voit aisément que cette limite peut 

 aussi être inférieure à deux droits. 



8. Théorème. Si la somme des angles, dans un seul 

 triangle, est égale à deux droits, il en est de même pour tous 

 les triangles. 



Démonstration facile. Voir, par exemple, Lobatchefsky, 



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