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que cette dérinilion répond (comme dans les cas classiques) aux deux con- 

 ditions suivantes : i°si A,, Ao, ..., K ••• sont des éléments identiques à un 

 même élément A, la suite a pour limite A; 2° si la suite A,, A^, . .., A„, ... 

 a une limite A, toute suite d'éléments contenus dans la première et pris 

 dans le même ordre a la même limite. On peut se demander s'il y aurait 

 lieu d'ajouter à ces deux conditions la suivante (qui constitue une des pro- 

 priétés les plus importantes des ensembles de points) : « Tout ensemble 

 dérivé est fermé. » Ou bien cette condition ne résulte-t-elle pas des deux 

 premières? La réponse à cette double question est négative; il suffit, pour le 

 voir, de montrer que cette propriété se trouve en défaut lorsqu'on l'applique 

 à l'une des définitions classiques de la limite. C'est, en effet, ce qui a lieu 

 quand on prend pour éléments les fonctions réelles définies dans un même 

 intervalle, et quand on adopte la définition classique de la limite {non 

 nécessairement uniforme). Par exemple, à ce point de vue, l'ensemble 

 dérivé de l'ensemble des polynômes n'est pas fermé. Ainsi, soit une suite 

 infinie de fonctions distinctes/,,/,, ..../„, ... qui tendent vers une fonc- 

 tion /(a?), chacune de ces fonctions /„( a;) étant elle-même limite d'une 

 suite infinie /„">, /„'-', ..., fT, ..., et toutes les fonctions f{x), ffx), 

 fl''''{x) étant supposées uniformes dans un même intervalle (a, b) : on ne 

 peut généralement pas trouver parmi les fonctions fl une suite infime /„''', . . . , 

 fP^, . . . qui ait pour limite f. 



II. Cette remarque donne de l'intérêt à la proposition à laquelle je 

 suis arrivé, d'après laquelle : lorsque les fonctions précédentes f, /„, /f 

 sont mesurables, on peut cependant trouver parmi les fonctions // une suite 

 infinie fil , /f;, . . . , /f;, . . . qui tend vers f en tous les points de (a, b), sauf 

 en un ensemble de mesure nulle. 



Comme corollaire, on voit que toute fonction pouvant rentrer dans la 

 classification de M. Baire est la somme d'une série de polynômes, sauf en un 

 ensemble de mesure nulle. 



III. Les opérations fonctionnelles. — En revenant à la considération des 

 opérations fonctionnelles continues, définies (voir la Note déjà citée) dans 

 un ensemble fermé d'éléments quelconques, on peut encore ajouter d'autres 

 généralisations de théorèmes connus. Ainsi, appelons ensemble continu 

 tout ensemble fermé E, tel que, étant donnés deux éléments quelconques A, 

 B de E, on puisse trouver un ensemble E^n contenu dans E, renfermant A, 

 B et qui corresponde univoquement aux points de l'intervalle (o, i) de 

 façon que, si dans cet intervalle la suite de points a;,, x^, ,.., a;„ a une 

 limite x, les éléments correspondants de E^^ tendent vers l'élément cor- 



