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au produit de deux puissances entières des deux autres racines, il existe 

 trois surfaces analytiques imariantes passant par le point double, quand i n'est 

 pas compris entre "le plus grand et le plus petit des nombres | S, |, | S„ \, \ S3 ], et 

 une sur/ace invariante dans le cas contraire. 



Dans le premier cas, les trois surfaces obtenues sont les seules surfaces 

 analytiques invariantes passant par le point double; je ne puis rien affirmer 

 dans le second cas. 



Les résultats précédents généralisent une proposition établie par M. Poin- 

 caré pour une substitution à deux variables ('•). 



L'analogie de ces résultats avec ceux relatifs aux courbes définies par 

 des équations différentielles, dans le domaine d'un point singulier, peut 

 s'expliquer en considérant la substitution 

 (2) X = x + {S,x-h...)k, Y=j4-(S,j+...)S/, Z = z. + (S,z-h...)h. 



Les équations fonctionnelles définissant les courbes ou les surfaces inva- 

 riantes par (2) deviennent, lorsque S/ tend vers zéro, des équations diffé- 

 rentielles. Dans cet ordre d'idées, j'énoncerai encore le résultat suivant : 



Si |S, |, IS2I, IS3I sont tous trois plus grands (ou plus petits) que i, 

 toute courbe, analytique ou non, invariante par (i) est définie par des équa- 

 tions de la forme 



F.^co,„,s.(l'^?F.) = l%'"^co,,,,XlogF,) ^ F3^»co,,sXl«gF3), 



où F,, F., F3 sont trois fonctions de x, y, z holomorphes et nulles à l'ori- 

 gine et ù)a(^) une fonction périodique arbitraire de période a. Lorsque la 

 substitution (i) devient (2), on retrouve, en faisant tendre It vers zéro, un 

 résultat b-en connu de l'étude des équations différentielles. 



2. Soit maintenant à trouver une courbe invariante par une transfor- 

 mation de contact : 



(3) \ = f{x,y,y') Y = <p(z-,j,y), Y'=.^{x,y,y') 



et passant par un élément double de cette transformation. Ce problème se 

 ramène à l'un des précédents. Si l'on remplace dans la transformation (3) 

 y par z, elle devient une substitution à trois variables 



(4) ^=f{x,y,z), Y = (?(a;,j,r.), Z^Kx,y,z). 



(') PoiNCARÉ, Sur les courbes définies par des équations diJjeieiUieUes {Journal 

 de Liouville, 1886, p. igS). 



