SÉANCE DU 2 JANVIER igo5 . 3l 



Soit r ^= <|^(a;) l'équation d'une courbe invariante par (3): on en déduit 

 une courbe j = ij; (a?), z = 'li'(x) invariante par (/(). Réciproquement, si 

 l'on a obtenu une courbe analytique _)' = <}/ (a^), z=^y(x) invariante par (4), 

 la courbe y = '\i (ce) est-elle invariante par (3), autrement dit la fonc- 

 tion x(^) est-elle la dérivée de <|'(^)? Il est facile de voir que cette condi- 

 tion n'est satisfaite que par deux des trois courbes invariantes et non pas 

 par la troisième. La transformation (4) peut en effet se ramener à la forme 



X=/(x,y,:-) = ax -h by -h cz -h ..., Y = (^(œ, y, z) = By +..., 



Z = aa- + fi V + y; + . . .. 



Pour deux des trois courbes invariantes, on a y[ = o. Or, la transforma- 

 lion (4) provenant d'une transformation de contact, on a, pour tout point 

 (x, y, z) d'une courbe invariante, les égalités 



^f ^ . ^ ., d<f^ do , d'f , 



y _ (hr ^ dy^'^ d z "" _ Ji^ 'dy^ ^ âz" 



d-r dy dz ()x dy " dz 



Ue ces égalités et de celles qui s'en déduisent par dérivation on tire (en 

 remplaçant x, y, z et y\ par zéro) : y\ = s„, y\ = s'„, . . ., jlf' = zj/''" et la 

 fonction z est bien la dérivée de y. Pour la troisième courbe invariante, au 

 contraire, y[ n'est pas nul et cette propriété n'est plus vérifiée. Ainsi : 



Par un élément double d'une transformation de contact passent en général 

 deux courbes invariantes par la transformation. 



Les fonctions y = '\i(x) ainsi déterminées vérifient les deux équations 

 fonctionnelles : 



(5) n/(^.if)] = ?i>.in 



(6) ^'[f{x,^,^')] = (,{.v,^,^'). 



si une fonction vérifie l'équation (5), on en conclut, en dérivant cette 

 équation, qu'elle vérifie aussi, soit l'équation (6), soit l'équation 



à/ df , df „ 

 d.v dy-' dy -^ 



Dans une Note présentée à l'Académie (3o novembre i9o3), j'ai signalé 

 des solutions de l'équation (5) et j'observais que les courbes obtenues 

 n'étaient pas à proprement parler des courbes invariantes : elles vérifient 

 l'équation (5), mais non l'équation (G). 



