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La recherche des courbes invariantes par polaires réciproques par rap- 

 port à la conique aj — ^^ = o conduit à deux équations de la forme (5) 

 et (6). La solution générale de ces équations est la suivante : 



a; =F(/) + $(/), .y= ~^ -^ f [F(^) - 4'(/)] [F'(/) + <P'(^)] ^^^ 



F(;) étant une fonction paire arbitraire et ^(t) une fonction impaire arbi- 

 traire du paramètre t. 



THÉORIE DES GROUPES. — Sur les SOUS- groupes invariants d'indice p- . 

 Note de M. G. -A. Miller, présentée par M. Jordan. 



vSoit G un groupe quelconque contenant un sous-groupe invariant (H) 



d'indice/)^, p étant un nombre premier quelconque. Puisque le groupe -jt 



est abélien, H comprend le sous-groupe commutateur (') de G. Il com- 

 prend également la puissance p- de chaque opération de G. Donc le plus 

 grand sous-groupe (H') de G, lequel est commun à tous ses sous-groupes 

 invariants d'indice />-, contient tous les commutateurs de G aussi bien que 



la puissance p- de chaque opération. De ceci il résulte que 777 est un groupe 

 abélien ne renfermant aucune opération dont l'ordre excède j9*. 



Chaque sous-groupe invariant d'indice p- contenu dans G correspond 

 à un sous-groupe d'indice //- contenu dans 777) et vice versa. Le nombre de 



ces derniers est égal au nombre de sous-groupes d'ordre p- dans -^, ("). 

 Nous déterminons d'abord la forme de ce nombre. 



Soit />" l'ordre de 777- Lorsque n est pair, le nombre des invariants de ce 

 groupe est - -1- a(o = a=-V Si n est impair le nombre de ses invariants 

 est " "*" ' 4- a. Dans le premier cas, le nombre de sous-groupes invariants 

 d'indice p- contenus dans G est 



/ :'^a \{ ^ + «_, \ ï + a-,/ l-a \ 



\P' -■A/'- — ■/ _^ p- \P^ -'/ . 



(') Ouarterly Journal of Mathemalics, t. XXVIII, i 

 (-) Weber, Lehrbiich der Algebra, t. II, 1S99, p. 56. 



