I,/, ACADEMIE DES SCIENCES. 



des polynômes linéaires et homogènes en ^,, l., . . ., l,,. Nous pouvons 



toujours supposer que l'on a identiquement 



(■^) 



. + X, 



En effet, quels que soient ces polynômes, on pourra trouver n con- 

 stantes 1,, l.i, . . . , K telles que 2a,X, = $„; mais comme nous pouvons 

 aussi bien écrire les équations des plans 1,X/ = o, au lieu de X, = o, nous 

 ne restreignons pas la généralité en supposant que ces constantes sont 

 égales à i . 



Cesn plans (2) divisent la surface de l'hypersphère (1) en 2" régions, 

 qui se distinguent entre elles par les signes des polynômes X. L'une de ces 

 régions sera le tétraèdre hypersphérique que nous voulons étudier et que 

 j'appelle T; ce sera par exemple celle pour laquelle tous les polynômes X 

 sont positifs. 



Mais ce n'est pas tout à fait comme cela que nous opérerons: nous 

 commencerons par diviser l'hypersphère en deux hémisphères par le pian 

 1^=1 o, et nous envisagerons seulement l'hémisphère ^„> o ; la surface de 

 cet hémisphère sera partagée en 2" — i régions seulement; car, en vertu 

 de l'équation (3), tous les X ne peuvent être négatifs si leur somme ^„ est 

 positive. 



Pour distinguer ces régions les unes des autres, nous désignerons cha- 

 cune d'elles par les indices de ceux des polynômes X qui sont positifs a 

 l'intérieur de cette légion. Ainsi la région où les polynômes Xj, X,, X5 sont 

 positifs et tous les autres négatifs sera la région 245. Nous appellerons 

 régions R^ celles où p de nos polynômes seront positifs et qui seront dé- 

 signées par conséquent par p indices. Le nombre total des régions R^ est 

 évidemment 



n\ 



Il n'y a qu'une seule région R„ qui est le tétraèdre T, il n'y a pas de 

 région R„. La surface des diverses régions sera évaluée en prenant pour 

 unité la surface de l'hémisphère. 



Cela posé, il nous faut définir les angles du tétraèdre; et distinguer 

 parmi eux les angles dièdres ou angles Aj. les angles triédresou angles A3, 

 et plus généralement les angles A^ limités par p plans. 



Un angle A^ sera donc l'ensemble des régions où les p polynômes X 



