SÉANCE DU l6 JANVIER ipoS. I17 



^(.r- ) étant une série quelconque procédant suivant les puissances de x". 

 La relation (i3 ) permet de calculer les 1^ et par conséquent les [j.^. . 



Reprenons l'équation (9) et faisons-y p — n. Dans le premier membre, 

 le coefficient de [a„ est i et, dans le second membre, -1- i si « est pair et — i 

 si n est impair, de sorte que les termes en [j.„ se détruisent dans le premier 

 cas et ne se détruisent pas dans le second. 



Si donc n est impair, c'est-à-dire dans un espace d'un nombre impair de 

 dimensions, il y a une relation linéaire entre : jj.„, qui représente la surface 

 du tétraèdre hypersphérique T; (^.„_,, [j.„ o. ■■■, IJ-2, q"i représentent les 

 sommes de ses angles des différents ordres; [j., et [7,„, qui sont égaux à n et 

 à 2. C'est la généralisation du théorème sur le triangle sphérique. 



Pour passer du tétraèdre hypersphérique au tétraèdre plan, il suffit de 

 supposer ce tétraèdre infiniment petit; c'est ainsi en effet que l'on passe du 

 triangle sphérique au triangle plan. Ainsi, pour avoir la relation entre la 

 somme des angles des différents ordres du tétraèdre plan situé dans l'espace 

 plan an — i dimensions, il suffira de prendre l'équation (9) et d'y faire : 



p — n, n impair, ;y,„ = o. 



C'est là la généralisation du théorème sur la somme des angles d'un 

 triangle rectiligne. 



Je n'aurais pas développé celte généralisation si je ne poursuivais un but 

 particulier. Ce but, c'est de faciliter la recherche des groupes finis ou dis- 

 continus contenus dans un groupe continu donné et en particulier dans le 

 groupe linéaire, et par là l'intégration algébrique des équations différen- 

 tielles linéaires. C'est là une théorie à laquelle les beaux travaux de 

 M. Klein et de M. Jordan ont déjà fait faire beaucoup de progrès. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur (jue/(/ues théorèmes relatifs aux surfaces 

 algébriques de connexion linéaire supérieure à l'unité. Noie de M. Emile 



PlCAliD. 



1. J'ai récemment fait connaître {Comptes rendus, 21 novembre 1904) un 

 théorème général sur les surfaces algébriques dont la connexion linéaire 

 est supérieure i\un. La démonstration que j'ai indiquée met en œuvre une 

 propriété du groupe d'une certaine équation linéaire E. Une seconde dé- 

 monstration m'a permis d'établir, outre le théorème rappelé, plusieurs 

 autres propositions oii figure la différence /?^ —^„ entre le genre géomé- 



