Il8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



trique /)g et le genre numérique/?,, de la surface ; c'est ce que je vais exposer 



succinctement. 



2. Ayant, comme habituellement, la surface algébrique de degré m, et 

 dont une section plane arbitraire est de genre p 



et y-p intégrales de seconde espèce I^ de la courbe algébrique entre x et z 

 représentée par l'équation précédente, dont les périodes, fonctions de y, 

 sont 



nous formons les équations qui jouent le rôle essentiel dans ma théorie 



oj' +a.,to-. H- . . . + «.,„w!;'' = P.., 



(I) 



p... 



La surface, comme on sait, aura des intégrales de différentielles totales 

 de seconde espèce, si l'on peut déterminer les constantes P de façon que 

 les équations (i) donnent pour a des fonctions rationnelles de j. Or on 

 peut supposer que les périodes (pour h quelconque) correspondant aux 

 indices i et 2, 3 et 4, . . . , 2/? — i et 2/j sont relatives aux p rétrosections 

 du type (C, D) de Riemann. On voit alors très facilement que la condition 

 nécessaire et suffisante pour que les constantes P correspondent à des inté- 

 grales de seconde espèce de la surface est que la combinaison 



(2) p,(,3^- p,co';' + ..,-i- i',/,_,o4- p,/,o4, , (A = i, 2, ..., 2^) 



se réduise à un polynôme en y. S'il reste parmi les P un nombre r d'arbi- 

 traires, une équation différentielle linéaire E aura alors comme solutions 

 r polynômes distincts. C'est le théorème que nous avions établi {loc. cit.) 

 par une voie différente, au moins quant au mode d'exposition. 



3. Allons plus loin, en supposant d'abord que la surface soit régulière, 

 c'est-à-dire que Pg = p„- Dans ce cas, l'ensemble des adjointes d'ordre 

 m — 3 de la surlace découpe sur un plan quelconque l'ensemble des 

 adjointes d'ordre m — 3 de cette section plane. Parmi les I/,, nous pouvons 

 supposer ^que se trouvent, pour A = i, 2, ...,/>, les /> intégrales de pre- 



