SÉANCE DU l6 JANVIER igoS. I I9 



mière espèce relatives à la courbe entre x et z, qui seront de la forme 



,(./•,.)-, z)d., 



n^ 



*^=T.2 p). 



Q^ = représentant une surface adjointe d'ordre m - 3 de la surface /. 

 Remarquons que la période 



J;^ (/• = f. 2, ..., 2/?; /i<p), 



qui est uniforme autour de j = oc, s'annule pour cette valeur. Il en résulte 

 que les expressions (2), pour h^p, sont identiquement nulles. 



Une analyse, ne présentant aucune difficulté, nous permet alors de con- 

 clure que les solutions a du système (i) sont les suivantes. On a 



et les autres a, à savoir a,, a.^, . . . , Ujj, sont des polynômes du premier degré 

 en y. De là on conclut que, pour une surface régulière, toutes\e^ intégrales 

 de différentielles totales de seconde espèce (transcendantes) sont en même 

 temps des intégrales Ae première espèce. 



Mais ceci n'est pas possible. On sait en effet que, si une surface a r inté- 

 grales distinctes de seconde espèce, on peut former /• intégrales de seconde 

 espèce ayant chacune leurs r périodes arbitrairement choisies. Par suite, 

 .on pourrait avoir r intégrales de première espèce dont chacune aurait ses/- 

 périodes arbitraires, ce qui est manifestement impossible. On a donc r = o; 

 ce qui nous conduit au théorème suivant : 



Si une surface est régulière (pg = p,^), elle n'a pas d'intégrale de di(/éren- 

 tielle totale de seconde espèce {transcendante). 



Ce théorème revient à une proposition démontrée récemment par M. Se- 

 veri, en se plaçant à un tout autre point de vue. Le théorème de M. Severi 

 est le suivant (') : Si une surface a des intégrales de différentielles totales de 

 seconde espèce , on a nécessairement p^"^ p„. Les propositions sont identiques. 



4. Supposons maintenant que la surface soit irrégulière {p^^p^). 

 Quoique la conclusion à laquelle j'arriverai soit générale, je vais, pour 

 abréger la démonstration, supposer que les surfaces adjointes d'ordre w — 3 

 présentent seules, quant aux sections planes, un défaut de régularité, les 

 adjointes d'ordre supérieur n'en présentant pas. Dans ces conditions, les 



l,') Sevehi, Atti délia Accadeiniu dei Lincei, seplembre igo4. 



