SÉANCE DU l6 JANVIER igoS. I2i 



en y; il faut en outre que celte combinaison se réduise à zéro pour 



A = 1,2, ..., p. 



Il en est nécessairement ainsi pour 



/( = I, 2, .... p — (.), 



puisque les développements des 0/ commencent par un terme en — • Mais, 

 pour h=p — <o, . . .,yO, les combinaisons (2) se réduiront seulement à des 

 constantes, si l'on n'assujettit pas les P à de nouvelles conditions. En 

 écrivant que ces constantes sont nulles, on a donc entre les P des nouvelles 

 relations en nombre 10, et l'on démontre qu'elles ne rentrent pas dans les 

 précédentes. 



Le nombre des P restant arbitraires est donc égal à r — ou. Inversement, 

 on établit que, les P étant ainsi choisis, les solutions des équations (i) 

 sont 



les a^ étant linéaires en j, quand h est de la suite (a), et se réduisant à 

 des constantes, quand h est de la suite (p). On en conclut alors que l'on 

 obtient ainsi une intégrale de première espèce de la surface. D'où enfin le 

 théorème suivant : 



Si, pour une surface algébrique, /•„ désigne le nombre des intégrales de pre- 

 mière espèce et r le nombre des intégrales de seconde espèce, on a la relation 



(3) '\, = r-{p,-p„). 



,5. Il est encore possible d'obtenir nssez aisément l'inégalité suivante 

 entre r et r^ : 



en se servant de quelques propositions classiques dans la théorie des inté- 

 grales abéliennes. 



Rapprochée de la relation (3), cette inégalité nous donne 



Cette inégalité est intéressante. Peut-on aller plus loin et aurait-on 



G. R., 1905, I" Semestre. (T. CXL, IN" 3.) l6 



