SÉANCE DU 16 JANVIER ipoS. I 33 



CORRESPONDANCE. 



GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces algébriques irrèottlières. 

 Note rie M. Federigo Enriques, présentée par M. Emile Picard. 



D'après Clebsch et M. Nœther, étant donnée une surface algébrique 



f{.r, j, -) = G, 



d'ordre m, on peut former généralement des intégrales doubles de pre- 

 mière espèce 



If 



S^i^,kJy 



qui restent toujours finies sur la surfiice; il faut, pour cela, que les Q 

 soient des polynômes, de l'ordre m — 4. adjoints à /, c'est-à-dire (pour se 

 borner au cas ordinaire) qu'ils s'annulent sur la courbe double dey'= o. 

 Ce nombre des polynômes Q linéairement indépendants est ce que l'on 

 appelle \e genre géométrique p^ de/. 



Or, en désignant par N un entier suffisamment gr;ind, on peut évaluer 

 le nombre des polynômes d'ordre N adjoints à /, d'après une formule 

 donnée dans toute sa généralité par M. Nœther. 



Faisons dans celte formule 



N = m — 4; 



dans le cas que l'on envisage comme étant le plus général, on obtient ainsi 

 le nombre pg. Mais il peut arriver que la valeur p^ ainsi obtenue diffère 

 àe pg', précisément que l'on ait 



C'est Ca\lev qui, avant aperçu le premier la curieuse circonstance qtii 

 précède, a a]ipelc l'.iltention sur ce que le nombre /j„, quand il n'est pas 

 égal à Pg, fournit un nouvel invariant des surfaces. M. Zeuihen établit 

 ensuite luie démonstration de l'invariance de/J^, sous quelques restrictions, 

 dont on s'est affranchi par des recherches plus récentes. 



On appelle p„ le genre numérique ou arithmétique de/, et l'on dit qu'une 

 surface e^t régulière si 



p. = l>S' 



