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qu'elle est irrègulière dans le cas contraire 



Pa<Ps- 



On connaît plusieurs exemples de surfaces irrégulières; aux surfaces 

 réglées (remarquées par Cayley)on a ajouté les surfaces possédant un fais- 

 ceau irrationnel de courbes quelconques, les surfaces hyperelliptiques, etc. 



J'ai remarqué, il y a cinq ans, que tous ces exemples rentrent dans une 

 même famille de surfaces que l'on peut définir par la propriété suivante : 

 il existe sur la surface une série continue de courbes algébriques qui n'est 

 pas renfermée dans un système linéaire de courbes du même ordre. Lors- 

 qu'une surface renferme une telle série de courbes, elle est irrégulière. 



Tout récemment je suis parvenu à établir la proposition réciproque que 

 j'ai communiquée le 1 1 décembre 1904 a l'Académie de Bologne. On a donc 

 le théorème : 



Sur une surface régulière toutes les courbes algébriques d'un ordre donné se 

 partagent en un nombre fini Ç^o) de systèmes linéaires. Au contraire, sur une 

 surface irrégulière, elles donnent lieu à des séries algébriques non linéaires, 

 ou à une infinité continue de systèmes linéaires de courbes du même ordre. 



D'une manière plus précise, si l'on envisage sur la surface un de ces sys- 

 tèmes complets qu'on appelle réguliers, et dont la dimension effective r est 

 égale à la dimension virtuelle, on trouve qu'il est contenu dans un système 

 non linéaire de dimension r + pg — p„. 



Le théorème que je viens d'énoncer ramène la construction des surfaces 

 irrégulières à celle des séries algébriques non linéaires de groupes de points 

 sur les courbes. Cette construction d'une surface renfermant une série non 

 linéaire de courbes a été remarquée par M. Himibert {Comptes rendus, 1 898), 

 qui a, le premier, appelé l'attention sur la question des systèmes non 

 linéaires de courbes pouvant appartenir aux surfaces algébriques. M. Hum- 

 bert a montré comment on peut obtenir, |)ar la construction qui précède, 

 des intégrales de Picard de première espèce, c'est-à-dire des intégrales de 

 différentielles totales 



I Pdx -\-Q dy, 



qui restent toujours finies sur la surface. 



On voit maintenant que : sur une surface irrégulière il y a toujours des 

 intégrales de Picard de la première espèce. 



Or rappelons un récent résultat, obtenu par M. Severi, d'après lequel, si 



