SÉANCE DU l6 JANVIER IQoS. l35 



une surface algébrique admet desintégmlesdePicard de la seconde espèce, 

 elle est irrégiilière. Le théorème de Severi s'applique a fortiori au cas où il 

 y a des intégrales de première espèce. 

 Par conséquent : 



La condition nécessaire, et suffisante pour que la surface algébrique f 

 admette des intégrales de première espèce, peut être exprimée par 



Pu<P,- 



Partant : si, sur f, il y a des intégrales de Picard de la seconde espèce, il y 

 en a aussi de la première, et les courbes algébriques tracées sur f donnent lieu 

 à une infinité de systèmes linéaires de courbes du même ordre, composant des 

 séries continues non linéaires. 



Peut-on aller plus loin? Peut-on trouver une relation numérique entre la 

 différence /?g. — p^ et le nombre des intégrales de première espèce attachées 

 à la surface? 



M. Severi croit pouvoir y parvenir eu démontrant par le procétlé direct 

 la réciproque de son théorème cité ci-dessus. Il m'a même communiqué le 

 résultat suivant : pg — />„ est égal à la différence entre le nombre des inté- 

 grales de Picard de seconde et de première espèce attachées à la surface. 



M. Castelnuovo pense que la relation entre Pg — pa «t 'e nombre des 

 intégrales de première espèce pourra être établie en poursuivant l'étude 

 des systèmes non linéaires de courbes tracées sur la surface. 



ANALYSE MATHÉMATiijUE. — Sur quelques points de la théorie des nombres. 

 Note de M. Georges Rémoundos, présentée par M. Emile Picard. 



1. En utilisant une méthode célèbre d'Hermite, M. Lindemann a dé- 

 montré la transcendance (') du nombre tu; il a, à cette occasion, établi un 

 théorème d'une grande importance, à savoir : 



Si les nombres a,, x., . . ., a„, A, , A., A„ sont algébriques, l'égalité 



(i) A,f?°'i+ Aofi"---!-. . .-I- A„e°'«= o 



entraîne la nullité de tous les coefficients A,, A^, . . ., A„. 



Le théorème présente une analogie visible avec celui de M. Borel, qui 



(') Mathemalische Annaleii, Volume XX, 1S82, p. 2i3. 



