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m'a servi de base clans mes recherches sur l'extension aux fonctions mul- 

 tiformes (') du théorème de M. Picard et de ses généralisations, surtout 

 avec son cas particulier qui consiste dans l'impossibilité de l'identité 



(2) P,(^)e'"''='+P,(:;)e"='=' + ... 1- P„( = )e""'=' = o, 



dans laquelle P, (2), V,(z), ...,?„(:.), H, (3), H,(2), ..., H„(:;) désignent 

 des polynômes. Cette analogie paraît plus grande dans les conséquences 

 de ces deux théorèmes. 



Ainsi, notre méthode d'élimination, avec l'appui du théorème d'Hermite- 

 Lindemann, nous conduit aux résultats suivants : 



2. Soit 



{/(u) — u' -+- y, u'-' -+- Y-2 «" " -4- ... -H Yv-, Il -+- y./ 



un polynôme en u, dont les coefficients y,, y^, ..., y,, sont des nombres 

 transcendants (non algébriques) et considérons l'équation 



(5) q{u) = Ae\ 



où A et Cf. désignent deux nombres algébriques quelconques. 



Je démontre qu'une telle équation n'admet pas, en général, des racines 

 algébriques. Une équation (5) admettant des racines algébriques doit être 

 considérée comme exceptionnelle, grâce au théorème suivant: 



// est impossible d'avoir 2v équations de la forme (5) 



q(^u) = kyc'^', q(^u) =:^ A.,e^--, . . ., q(^u) ^ h..,,,e'^--' 



admettant des racines algébriques. 



Plus particulièrement , il est impossible d'avoir v + i équations de la 

 forme (5), 



y({<) =,A,e°'i, ^(?/) = A^.e^-, .... ^(h) — Av+, e^'+i 



admettant des racines algébriques, si l'on a 



a, :^ O, oL..=^0, . . ., av+,^0, 



c est-à-dire, si les seconds membres sont des nombres transcendants. 

 Si j'appelle u = «(s) la fonction algébrique, définie par l'équation 



(') Comptes rendus. 20 avril igoS, 8 tV-vrier, 20 juin, 8 août 1904, et Bitll. de la 

 Soc. mathématique, 1904, fascicule i. 



