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(l'indiquer ici une autre mélhode pour démontrer la même proposition 



pour a =^ o. Nous nous poserons le problème suivant : 



Problème fondamental : (a>o). — Déterminer une solution de {\) 

 à l'intérieur d'un rectangle R dont les côtés sont parallèles aux axes, lorsqu'on 

 donne les valeurs qu'elle prend sur le coté inférieur ainsi que sur les deux côtés 

 parallèles à l'axe des y du rectangle R. 



Ce problème admet toujours une solution et une seule. La deuxième partie de cette 

 assertion se démontre par la considération d'une certaine intégrale double; pour en 

 établir la première partie et calculer effectivement la solution, on emploie la méthode 

 des approximations successives, l'équation élémentaire étant de la forme 



Lorsque les dimensions verticales de R sont quelconques on n'a qu'à répéter un 

 nombre limité de fois le même calcul. Au contraire, si ce sont les dimensions horizon- 

 tales qui sont tiop grandes, on peut employer avec succès le procédé alterné. 



Si l'on dirige la méthode des approximations successives dans le but de 

 montrer que la solution trouvée est analytique (par rapport à x), on est 

 amené à discuter les intégrales suivantes 



A,(.r) 



^„{y) = e-"'-'- j\'„{z) e"'-- dz, 



c étant un nombre réel, tandis que k el n sont des nombres entiers com- 

 plexes dont la partie réelle n'est pas négative. On peut trouver dans ces con- 

 ditions une limite supérieure du module de A a(^) et de sa dérivée à l'intérieur 

 d'un losange, si l'on connaît la limite supérieure de ('a(^-) dans ce même 

 losange ('). Pareillement on a une limite supérieure de B„(j) et de sa 

 dérivée, lorsque la partie réelle de y n'est pas négative. B'inalement la solu- 



(') Dans ma Thèse, pour étudier des intégrales analogues, j'ai introduit des déve- 

 loppements spéciaux. Mais l'on pourrait simplifier notablement les calculs en considé- 

 rant les régions où ils convergent, sans les introduire explicitement. 



