SÉANCE DU 23 JANVIER 190"). 209 



flérivora que /j., /j., f.\ une seconde partie dans laquelle on dérivera i/,.' 



")• ".-■ 



De même pour c'^, v.. Dans la somme ^Z,*',, la première partie dispa- 

 raît. Il reste donc simplement 



en désignant par N et D le numérateur et le dénominateur de la fonction 

 v(^x,y,z). On vérifie que cette somme est identique au déterminant au 

 facteur — f'^ près. Donc : 



Théorème. — La condition pour que la famille de surfaces f{x, j, :;) = p 

 admette des trajectoires orthogonales planes peut se mettre sous la forme 



/:«':,. +./;<';+/;<4=o. 



en posant 



u(,r, y. z) :- l \(f;y- + ffiy + (fiy l K^- 7- -) = '^i^C/:!; ' 



on en déduit les conséquences suivantes : 



Considérons la nouvelle famille de surfaces v(.t, r, z) = n. 



La relation indique qu'en un point quelconque commun aux deux sur- 

 faces p, T les deux surfaces se coupent ortliogonalement. 



Partons d'un point M(.ro, Vq. -o)- En ce point passent une surface p, une 

 surface c. L'élément de courbe trajectoire passant en ce point, normal à la 

 surface p, est donc tangent à la surface a. La même surface c passe donc 

 aussi par le point M' infiniment voisin sur la courbe trajectoire. L'élément 

 de courbe trajectoire passant par M' sera donc encore tangent à la même 

 surface a. En d'autres termes : 



La même surface c contient la trajectoire orthogonale tout entière. 



Quelle est l'équation du plan de la courbe? 



Soit 



/// X + // Y H- /)Z -I- 7 = o 



l'équation de ce plan. On a trouvé les conditions 



ni.i\, -h «,y„ H- />;„ + <7 = o, 



rrTf/',^ -h nu[. 4- pu'.^ = o. 



G R., iqof-,, I" Semefitre. (T.:C?<L, N° 4.) ■•^7 



