2IO ACADÉMIE DES SCIENCES. 



L'équation de ce plan est donc 



X-a-„ Y-j„ Z-r„ 



/; /;." A 



Ainsi, si l'on a une famille de surfaces f[x, y, s) = p, on peut avoir. 

 sans intégration, les équations des courbes trajecloires. 



Les équations de la courbe trajectoire qui passe par un point.r,,, Voi'-t, s' nt. 



/:. 



Z- z.^ 





., du du 



^, du du 



Comme première conséquence immédiate on voit en particulier que, si 

 la surface est algébrique, les équations des courbes trajectoires le seront 

 aussi. 



Chacune des courbes trajectoires rencontre une courbe fixe dont les 

 équations sont 



«i "r U. 



Il n'a pas échappé que la fonction v{x,y, z) n'est pas symétriquement 

 formée au moyen des dérivées de/. La dissymétrie disparaît dans la somme 



fx^'x ~^fy^'y '^fz^'z ap''ès Suppression du facteur de dissymétrie 



Ce résultat est extrêmement heureux. 



Il nous permet d'avoir trois formes différentes pour la famille de sur- 

 faces v(^x,y,z)~r, qui renferment les trajectoires orthogonales. On les 

 obtient par permutation des lettres x, y, z. 



Soient 



v(^x,y,z) = Q, w{x,y,z) 



/(a-, r,s) = T. 



Les équations des courbes trajectoires peuvent se mettre sous l'une des 

 formes 



P = o, l> = o, P = o, 



^ = *'o' 



/„; 



on en déduit cette conséquence extrêmement remarquable : 



Les trois surfaces v=iv^, w^=w^, ^ = ^0 se coupent suivant une même 



