SÉANCE DU 23 JANVIER igoD. 211 



courbe />/ane qui est la trajectoire orthogonale passantpar le point ii-u,jo,r„. 

 L'équation du plan a été donnée ci-dessus. 



On obtiendra des familles de surfaces à trajectoires orthogonales planes 

 en prenant 



if=^ const.; 



on obtient ainsi une équation aux dérivées partielles du deuxième ordre 

 dont toutes les solutions appartiennent à l'équation aux dérivées partielles 

 du troisième ordre qui régit le problème. 



Note sur la Communication précédente, 

 par M. Gaston Darboux. 



On i^eut développer et compléter comme il suit les résultats obtenus par 

 M. Carrns. Soit 



(') /'(a-, j, i) = const. 



l'équation eu coordonnées rectangulaires d'une famille de surfaces. Les tra- 

 jectoires orthogonales seront définies par les équations différentielles 



auxquelles on peut, en introduisant une variable auxiliaire t, donner la 

 forme suivante ; 



, . ^ — /' i^ — '■' 'Il — f 



^"^J dt ~~J-^' dt ~Jy' dt ~J^- 



si l'on pose 



(3) /"+/"+/;'= 2« 



et si l'on introduit le symbole bien connu défini par l'équation 



( 4 ) \'P=^ y.[, K + 4 ?''r+"-'zf^'^ = \''-' 



les équations (2), différentiées successivement deux fois par rapport à t, 



nous donneront les suivantes : 



d-j: , d'Y , d-z 



(5) 



fP.r ;, , d^Y ^ , cl 



((^) 



dt' 



