212 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



La coiiiJitiou pour qu'une courbe soit plane s'obtient en égalant à zéro 

 le déterminaiiL 



(II- d'.r ,Px 

 dl df' 111=^ 

 dy d-y d'y 



lû Hr- ~dF 



dz d-z d'-z 



dl de- dl' 



(7) 



on voit donc que la condition pour que la famille de surfaces admette des 

 trajectoires planes se présentera sous la forme 



(8) 



Ofli. 



obtenue en remplaçant dans l'équation (7) les dérivées de x, y, z relatives 

 à t par leurs valeurs déduites des formules (2), (5) et (6). On se trouve 

 ainsi conduit à l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre qui 

 caractérise les surfaces cherchées et qui a servi de point de départ à 

 M. Carrus. 



Ce jeune géomètre en a fait connaître des transformations intéressantes. 

 Nous allons les retrouver, en donner de nouvelles, et surtout montrer que 

 l'équation du troisième ordre peut être intégrée une fois au moins, et 

 ramenée à une équation aux dérivées partielles du deuxième ordre seule- 

 ment. 



A cet effet, considérons une famille quelconque de surfaces définie par 

 l'équation (i) et proposons-nous de déterminer, pour un point quelconque 

 de l'espace, de coordonnées x,y, z, le plan osculateurde celle îles trajec- 

 toires orthogonales des surfaces qui passe en ce point. Si 



est l'équation de ce plan osculateur, on aura les conditions 

 1 /a' + my -h nz = i, 



<.9) 



, d.r dy dz 



dl dl dl 



dl- 



dl- 



dl- 



