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Voici comment on peut intégrer une fois l'équation (8) : 

 Puisque les trajectoires orthogonales sont planes, les plans de ces 

 courbes forment évidemment un système sim|)lementou doublement infini. 

 Considérons d'abord le cas où les plans forment une suite simplement 

 infinie et, par conséquent, enveloppant une surface développable. Il v a 

 alors une infinité de trajectoires dans chaque plan tangent de la dévelop- 

 pable et les siufaces cherchées sont des surfaces moulures dont les profils 

 se trouvent dans les plans tangents de la développable. Ecartons celle 

 solution, qui était évidente a priori, et supposons que les plans des trajec- 

 toires enveloppent une surface non développable. Alors les quantités que 

 nous avons appelées /, m, n devront satisfaire à une relation 



(.(•.) £{Lm,n) = o, 



qui sera du second ordre par rapport aux dérivées àef(^x,y, z) quand on 

 y remplacera /, m, n par leurs secondes expressions (lo) en fonction 

 de X, y, z. C'est /.'intégrale première générale de l'équation du troisième 

 ordre (S). 



I>es équations (i5) permettent d'ailleurs de vérifier ce résultat avec la 

 dernière précision et conduisent à l'identité 



07) 



<ifl(l,/n,n) 



Il serait facile d'étudier les solutions de l'équation (i6) qui annulent le 

 déterminant du second membre; nous donnerons à la fin les résultats de 

 cette étude. 



Si l'on veut que la surface enveloppée par les plans tangents des trajec- 

 toires se réduise à un point, que l'on prendra pour origine des coordonnées, 

 l'équation (i6) se réduira à la forme simple 



(i8) 



D = 



/; ,/■; 



Ici on pourra évidemment intégrer une fois encore et remplacer l'équa- 

 tion précédente par la suivante 



(19) 2« ^f^ +/■; +y/ = (p(y; x^ + ^^ + z'). 



