SÉANCE DU 23 JANVIER igoS. 217 



prouvé que beaucoup d'équations ne pouvaient avoir que des solutions 

 analytiques. 



Soit maintenant, pour fixer les idées, une équation à deux variables « et a; 

 dont on sait qu'une solution /(r, t) est analytique, au moins par rapport 

 à ce, pour ; > o et qui se réduit pour t = o k une fonction de x continue 

 mais pas forcément analytique. Pour t non nul mais aussi petit qu'on vou- 

 dra /(x, t) restera analytique mais tendra aussi avec telle approximation 

 qu'on voudra vers la fonction non analytique qui la remplace pour t = o. 



Voici d'abord comment on peut déduire de là la méthode de dévelop- 

 pement de Weierstrass (Journal de Liouville, i886, p. io5; E. Borel, loc. 

 cil., p. 5i). 



Soit l'équation de la propagation de la chaleur par conductibilité 



(0 ^-^ = ° 



et la solution de Cauchy-Fourier, facile à obtenir, 



qui, pour ^ = o, se réduit à la fonction non forcément analytique /(x). 

 Intégrant par rapport à a on a 



7= r'fi^y"'^' du. 



ce qui, en posant /j y = ^% est l'intégrale i|/( a;, ^)(E. Borel, loc. cil., p. 52) 

 donnant un développement analytique qui, pour k aussi petit qu'on veut, 

 représente /(ic) avec l'approximation qu'on veut. 



La méthode de M. Picard {Traité d'Analyse, t. I, 2^ édit., p. 27'») revient 

 à remplacer ( 1 ) par l'équation de Laplace à deux variables dont on prend 

 la solution 



— / /■(<!/) ^^ -d^, 



i-^ J -^ ^^-' I — 9/'cos('!/ — tp) 4- /■- ^' 



se réduisant 3/(9) sur le cercle r = i. Comme cette solution est forcément 

 analytique en r et ç {loc. cit., t. II, Chap. I), le raisonnement précédent 

 s'applique encore. 



On pourrait varier indéfiniment les exemples el. le problème de la 

 C. R., 1905, I" Semestre. (T. CXL, N» 4.) -^ 



