SÉANCE DU 23 JANVIER rpoa. 221 



gularilé d — pg — p^y^a. D'après le théorème cilé de M. Enriques, tout 

 système linéaire |C|, complet, régulier, de courbes tracé sur F appartient 



à une série algébrique oc'' de systèmes linéaires | C |, |C, | n'ayant deux 



à deux aucune courbe commune. Si r est la dimension de ces systèmes, 

 par r points arbitraires de F passera une courbe C, C,, ... de chacun desdits 

 systèmes; et ces courbes formeront une série algébrique ( non linéaire) oo'', 

 que je désignerai par S^. Les courbes de S^ dépendent algébriquement 



de rf paramètres, ou rationnellement de d -\- i paramètres Xo. ^ '^w 



liés par une relation algébrique 



?(>-», >^ Au) = o. 



On peut donc dire qu'à tout point), de la surface ou variété ©, à rf dimen- 

 sions, correspond une courbe de S,,, et vice-versa. Or la variété (p jouit 

 d'une propriélé extrêmement remarquable : elle admet un groupe G,; tran- 

 sitif oo'' de transformations birationnelles en elle-même, deux à deux permu- 

 tables. Une de ces transformations est entièrement déterminée dès qu'on 

 connaît deux points de ç, c'est-à-dire deux courbes A, B du système S,„ 

 qu'on veut faire correspondre; alors toute courbe C de S,/ est transformée 

 en une nouvelle courbe C, de S,/, telle que l'on ait 



|C,| = |C + B-A|. 



On voit aussi que la variété (p est déterminée, à une transformation bira- 

 tionnelle près, lorsque est tlonnée la surface F. C'est pourquoi, en ayant 

 égard aux profondes recherches de M. Picard sur les surfaces admettant 

 un groupe de transformations birationnelles en elles-mêmes, je propose 

 d'appeler la variété (p (et le groupe G,/) la variété (ou le groupe) de Picard 

 attachée à la surface F. 



D'après un théorème de M. Picard (Bendiconti del Circolo mathematico 

 diPalermo, iSgS. Voir aussi un Mémoire de M. Painlevé, Acta Mathematica, 

 t. XXVII), une variété telle que (p possède d intégrales distinctes de diffé- 

 rentielles totales qui, dans le cas actuel, sont de première espèce. Soit I,„('X) 

 une de ces intégrales (m = 1,2, . . ., d). Si le point 1 parcourt une courbe 

 algébrique arbitraire y tracée sur «p, !,„(>.) devient une intégrale abélienne 

 de première espèce de y. Aux points de y correspondent sur la surface F 

 00' courbes du système S,/ ; par tout point (x. y, z) de F passera un nombre 

 fini, k, de ces courbes, correspondantes aux points X''', X'^', ..., X'^' de y. 

 Formons maintenant la somme : 



I,«(V") + I™(^'") + --- + I™(^*)- 



