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C'est une fonction ïm(a\ y, z) du point (x, v, :;) de F, fonction partout 

 finie sur F. C'est donc une intégrale de différentielle totale de la première 

 espèce de F. En attribuant à m les valeurs i. 2, . . . , d on obtient ainsi 

 d intégrales. 



Il peut bien se faire vraiment que quelques-unes de ces intégrales (pas 

 toutes) se réduisent à des constantes, ou que les d intégrales ne soient pas 

 indépendantes. Mais on démontre que, si les d intégrales s'expriment 

 linéairement par S d'entre elles, la variété o contient une série ac''-^ de 

 variétés de Picard V5 à S dimensions, dont chncune est'transformée en elle- 

 même par les transformations d'un sous-groupe G5 du groupe de Picard G,/. 

 On reconnaît aussi l'existence sur «p d'une seconde série ao* de variétés de 

 Picard Yj^s, qui se comportent d'une manière analogue par rapport à un 

 second sous-groupe Gj_g. Il suffit alors de remplncer la courbe y nommée 

 ci-dessus par deux courbes y,, y^, contenues, l'une dans une des V5, l'antre 

 dans une des V^_j, pour retrouver S -)- (rf — S) =r r/ intégrales distinctes 

 de F, et S de ces intégrales possèdent S systèmes de 2 S périodes; les inté- 

 grales restantes ont r/ — S systèmes de i{d — t) périodes. 



La surface F ne peut d'ailleurs posséder plus de d intégrales distinctes de 

 première espèce. On le voit en s'appuyant sur le théorème cité de M. Picard 

 et de M. Severi; par suite : 



Une surface ayant les genres pg, p^ possède pg — p^ intégrales distinctes de 

 différentielles totales de première espèce et i(^pg — p„) intégrales distinctes de 

 seconde espèce. Le continuum réel à quatre dimensions représentant la surface 

 a la connexion linéaire yo, = 2 {^pg — p^) -\- i . 



On remarquera l'analogie parfaite de ce résultat avec le théorème de 

 Riemann concernant les intégrales abéliennes relatives à une courbe algé- 

 brique de genre d. Au point de vue de la connexion linéaire, une surface 

 ayant l'irrégularité d correspond donc à une courbe de genre d. Même à la 

 courbe est attachée une variété de Picard à d dimensions, dont les points 

 représentent les séries linéaires complètes, non spéciales, d'un ordre quel- 

 conque, appartenant à la courbe (par exemple les groupes de rf points de 

 celle-ci). 



