SÉANCE DU 2,3 JANVIER igoS. 223 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles linéaires du 

 second ordre renfermant un paramètre. Note de M. Tzitzeica, présentée 

 par M. Emile Picard. 



Dans une Thèse présentée à Gœttingue, M. Mason a étudié certains pro- 

 blèmes d'intégration de l'équation 



(i) )'" + ■>, A(.;r ) y- = G, 



déterminés par des conditions aux limites (Randwertaufgaben). Un de ces 

 problèmes avait été auparavant étudié par M. Picard, à l'aide d'une mé- 

 thode très simple et très suggestive. C'est cette méthode de M. Picard que 

 je veux étendre aux autres problèmes considérés par M. Mason, en me 

 bornant dans cette Communication au problème suivant : La fonction k(^x) 

 étant positive dans V intervalle (a, b), et continue ainsi que ses deux premières 

 dérivées, trouver les valeurs de 1 pour lesquelles l'équation (i) admet une inté- 

 grale y{x) continue ainsi que sa dérivée première dans (a, b) et telle que 



y(a) = o, /(*) = »• 



J'emploie pour trouver une première valeur de >., à savoir celle à laquelle 

 correspond une intégrale r( r) dont la dérivée ne s'annule qu'aux extré- 

 mités de l'intervalle (a, t), deux méthodes tout à fait distinctes, basées 

 cependant sur des principes analogues à ceux de M. Picard. 



I. Je démontre d'abord que X doit être positif. Gela étant, je pose 



(2) y=z^ik{x). 



On trouve que -: vérifie l'équation 



(3) z«+xh 



et que l'on a 



[.v/xX(7)]' 



^^' y- xA(x) ' 



ce qui prouve que dans les conditions précédentes il y a correspondance univoque 

 entre les intégrales des équations (i) et (3); les formules {i) et (4) définissent bien 

 celte correspondance. 



Il résulte de (3) que le problème proposé est impossible pour les valeurs de >., pour 



lesquelles X ^ | -L 1 



v^ Va; 



est constamment négatif dans (a, b). 



