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Soit Xo> o une valeur telle que >.„ — ( — ] soit constamment positive. Calcu- 



Ions la constante c (Picard, Traité d'Analyse, t. III) pour l'intervalle («, t) et avec 



la fonction Bo(.r) = A X^ — ( -— ) -Si Ton a c= i, X^ est la valeur cherchée deX. 



Si cjz^i, on peut arriver à c = i de la manière suivante : Supposons, par exemple, 

 c> I ; alors si nous faisons décroître, dans B(a-) r= A X — ( — = | > )> à partir 



L v/Â Wa; J 



de Xo, de manière que B (x) reste positif dans (a, Z»), ce qui est possible ; comme pour 

 B(a;) ^o on a c = o, il résulte qu'il y a une valeur X, pour laquelle c^zi. L'équa- 

 tion (3) admet pour X r= Xj une intégrale ^(.r) telle que ^(rt) =:: o, 5(6) := o et qui ne 

 s'annule pas dans l'intervalle; par conséquent (i) admet pour X = X, une intégrale y(x) 

 telle que j'(fl) =/'(Z>) := o et j'{j;) ne s'annule pas dans {a. h). 



II. On peut employer une méthode encore plus simple et qui ne demande même pas 

 que les dérivées de k{x) existent. Je démontre de la même manière que M. Picard 

 qu'il y a une valeur X' de X pour laquelle (1) a une intégrale y\{x) telle que 

 y,(a)==:o, y'^{b)^o, de même une valeur \" et une intégrale y^ix) pour laquelle 

 y'iia) ^o, yï{b)^o, yi{x)^ y^{x) ne s'annulant pas dans (a, b). On peut raccorder 

 ces intégrales en un certain point de (a, i) et pour une même valeur de X, soitÀ = X,. 

 On aura ainsi une intégrale /(,r) de (i) pour X =r X, telle que y'(rt) := j''( 6) =; o et 

 s'annulant une seule fois entre a et b, dont la dérivée, par conséquent, ne s'annule 

 qu'en a et b. 



III. Nous venons de trouver par deux voies une valeur X, de X pour laquelle (t) 

 admet une intégrale y (a-) dont la dérivée ne s'annule qu'aux extrémités de l'intervalle 

 (a, b). Je vais prouver qu'il n'y en a pas d'autres. Supposons qu'il y ait encore la va- 

 leur X2 et l'intégrale jsl-î^)- On a 



(>^2.r2j', — À, J, j;)'= (X,- x,)j;/,, 



donc 



o = (X,— X2) j y\y',dx, 



égalité absurde si X, p^Xj. 



IV. Arrivés là, il est facile d'établir, par un procédé géométrique tout à fait sem- 

 blable à celui de M. Picard, qu'il y a une suite de valeurs de X pour lesquelles on a 

 des intégrales dont les dérivées s'annulent non seulement en a el b, mais aussi dans un 

 certain nombre de points intermédiaires. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un ihéonme de M. Borel. Noie de 

 M. F. RiESz, présentée par M. E. Picard. 



I. Le théorème de M. Borel, qu'un ensemble déuombrable d'intervalles, 

 tel que chaque point d'un intervalle ah est intérieur au moins à un inter- 



