SÉANCE DU 23 JANVIER igo5. 225 



valle de l'ensemble, contient un ensemble fini d'intervalles jouissant de la 

 même propriété, peut être énoncé sous une forme plus générale, en laissant 

 à part la restriction de la dénombrabilité de l'ensemble. Sous cette nou- 

 velle forme, le lliéorème sert de base commune à plusieurs théorèmes prin- 

 cipaux de la théorie des fonctions de variables réelles. 



Pour démontrer le théorème, soit c un point de l'intervalle ah tel que 

 pour l'intervalle ac il y ait un ensemble fini, partie de l'ensemble infini 

 d'intervalles, tel que chaque point de l'intervalle ac soit intérieur au moins 

 à un intervalle de l'ensemble fini, c étant un tel point, chaque point de 

 l'intervalle ac l'est aussi; de même chaque point intérieur à un intervalle 

 de l'ensemble, auquel le point c est aussi intérieur. Le point a lui-même 

 étant intérieur à un intervalle, chaque point intérieur en même temps à 

 cet intervalle et à l'intervalle ah pourra servir de point c. Nier le théorème, 

 ce serait affirmer que, dans certains cas, il y aurait des points de l'inter- 

 valle ab, n'appartenant pas à la classe des points c. Or, ces points forme- 

 raient une seconde classe et les deux classes définiraient une coupure, dans 

 le sens de M. Dedekind, ayant pour point limite un point/) de l'inter- 

 valle ah. Donc, il y aurait un intervalle de l'ensemble, auquel le point/) 

 serait intérieur; cet intervalle contiendrait des points de chacune des 

 classes, résultat qui serait absurde. 



Applications. — ■ 1. Le lliéorème de Weierslrass, que jjour chaque fonction bornte 

 définie dans un intervalle ab il y a au moins une valeur de l'argument telle que pour 

 chaque intervalle interceptant cette valeur la limite supérieure de la fonction sera la 

 même que pour tout l'intervalle ab, résulte immédiatement de notre théorème; parce 

 que, s'il n'en était pas ainsi, chaque valeur de l'argument serait intérieure à un intervalle, 

 dans lequel la limite supérieure serait inférieure à celle dans l'intervalle ab-. alors il y 

 aurait un ensemble fini d'intervalles, recouvrant tout l'intervalle ab, tels que dans cha- 

 cun d'eux la limite supérieure serait inférieure à celle dans tout l'intervalle, ce qui 

 serait absurde. 



2. Pour démontrer le théorème bien connu que chaque fonction continue est uni- 

 formément continue, on déterminera autour de chaque valeur de l'argument \\n inter- 

 valle pour lequel l'oscillation soit plus petite que le nombre donné s. L'ensemble de 

 ces intervalles contiendra un ensemble fini d'intervalles, tel que chaque point de l'in- 

 tervalle ab sera intérieur au moins à un intervalle de cet ensemble fini. Ces intervalles 

 auront des parties communes; soit 5 la longueur de la plus petite de ces parties. 

 Alors, dans tout intervalle inférieur à o l'oscillation sera inférieure à s. 



IL Autour de chaque point de l'ensemble complémentaire d'un ensemble 

 fermé contenu dans l'intervalle ah, on peut déterminer un intervalle ne 

 contenant aucun point de l'ensemble fermé. De là il suit que notre théo- 



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