SÉANCE DU 3o JANVIER igo5. - 299 



primitives, p. io5, et Borel, Leçons sur (es fv notions de variables réelles et les 

 développements en séries de polynômes, p. 9). 



Plus réceaiment, M. René Baire m'a communiqué une démonslration de 

 la généralisation de M. Lebesgue, qui n'est pas plus simple que celle de 

 M. Lebesgue, mais qui me parait, à certains égarils, intéressante. Voici 

 comment on peut l'exi^oser, en se bornant au cas du continu à une dimen- 

 sion : 



Soient donnés des intervalles lels que toiil point du segment o — i soit intérieur à 

 l'un d'eux (le mol intérieur est pris au sens étroit, c'est-à-dire que les extrémités 

 d'un intervalle ne sont pas regardées comme intérieures à l'intervaHe). A tout nombre x 

 compris entre o et i on peut faire correspondre un nombre s défini comme il suit : 

 soient ah l'un des intervalles contenant x et h le plus petit des deux nombres positifs 

 X — a el b — ^; le nombre s est la limite supérieure des valeurs de h qui correspondent 

 à tous les intervalles al/ contenant ,r. Il est visible que le nombre s ainsi défini est une 

 fonction continue de jt, lorsque x varie entre o et i ; celte fonction continue admet 

 donc une limite inférieure r, (ju'elle atteint elfeclivement et qui, par suite, ne peut pas 

 être nulle. En désignant par r/ un nombre positif quelconque inférieur à r,, il est 

 visible que tout point x compris entre o et i est à l'intérieur d'un intervalle ab tel 

 que b — X el x — a soient tous deux supérieurs au nombre déterminé •(]'; il est clair, 

 dès lors, que l'on peut recouvrir tout l'intervalle o — i par un nombre d'intervalles au 



|ilus égal à l'entier immédiatement supérieur à — ; donc, par un nombre fini d'inter- 

 valles. C'est le résultat qu'on voulait démontier. 



Cette démonslration de M. Baire n'est pas sans analogie avec celle que 

 Heine a donnée de l'uniformité de la continuité (Journal de Crelle, l. 74). 

 C'est sans doute à cause de cette analogie que certains auteurs ont donné 

 au théorème dont il est question le nom de théorème de Heine-Borel. Il 

 semble d'ailleurs que l'on ait cru parfois que j'avais donné l'énoncé gétié- 

 ralisé ilù à M. Lebesgue, c'est-à-dire que l'on n'ait pas pris garde que mes 

 deux démonstrations (dont la première a des points communs avec celle 

 de M. Lebesgue) supposent toutes deux la dénombrabilité de l'ensemble 

 lies intervalles ilonnés. Je suis heureux que l'occasion me soit offerte de 

 signaler la part qui est due à M. Lebesgue dans le théorème généralisé et 

 ses applications (^voir sa Thèse et les Livres cités plus haut). 



La propriété énoncée dans ce théorème caractérise les ensembles fermés. 

 [Voir BoREL, Contribution à l'analyse arithmétique du continu {Journal de 

 M. Jordan, iC)o'd, |). 829, et O. Veblen, The Heine-Borel theorem (Bulletin 

 0/ tlie American mathemalical Society, 1904, p. 436). ) 



Eu d'autres termes, pour qu'un ensemble E soit tel que, sicl\acun de ses 



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