SÉANCE DU 6 FÉVRIER 1905. 35g 



OÙ (j est fixe et où r^ est le module chif'"'" zéro d'un produit canonique d'ordre 

 (k, p) (^ ou p ^ o), converge ou diverge suivant que (k,, n) est plus grand ou 

 plus petit que (^, p). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégrale de Poisson et les lignes singu- 

 lières des fonctions analytiques. Note de M. P. Fatou, présentée par 

 M. Painlevé. 



Considérons une série de Taylor 



/(z) = a^-i- rt,s + . .. + a„="+ . . . 



dont le rayon de convergence soit égal à i; on peut exprimer /(s) et les a„ 

 par les formules de Cauchy 



l'intégration étant effectuée le long d'un cercle intérieur au cercle de con- 

 vergence. Dans quels cas peut-on prendre pour C le cercle de convergence 

 lui-même? Il en serait évidemment ainsi si f{z) était continue à l'intérieur 

 du cercle et sur lé cercle. Mais cela n'est nullement nécessaire. 



Supposons seulement que/(-) soit bornée à rinlérieur de son cercle de convergence, 

 mais ne faisons a priori aucune hypothèse sur la façon dont elle se coniporte au voisi- 

 nage du cercle. S'il en est ainsi, on démontre, en s'appuyant sur des propositions dues 

 à M. Lebesgue, concernant l'intégrale des fonctions de variables réelles, que Ton peut 

 encore intégrer sur le cercle de convergence, autrement dit que la partie réelle et la 

 partie imaginaire de f{z) s'expriment par des intégrales de Poisson : 



les fonctions g et /( étant des fonctions discontinues de la première ou de la seconde 

 classe de M. Baire dont j'ai étudié la dépendance mutuelle ('). 



(') Ne sachant pas si la fonction a une valeur sur le cercle, c'est par un procédé 

 indirect que nous obtenons la définition des fonctions g el h; nous démontrons a pos- 

 teriori qwe f{f)-+- ig{<i) est, en général, la valeur de la fonction /(s) au point d'ar- 

 gument (B sur ce cercle. 



