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Ces définitions étant posées, je vais énoncer le théorème suivant : 

 Pour que les courbes C,, Cj, . .., C/, soient algébriquement dépendantes, il 

 faut et il suffit que la matrice discriminante du groupement (C,, Co, . . ., Ch) 



soit nulle (c'est-à-dire que ses déterminants d'ordre h soient nuls). 



J'appuie la démonstration fie ce théorème sur la lemarque que, si deux courbes 

 A, B de F ont le même degré, le même genre el le même ordre, les systèmes algé- 

 briques complets 



(4) (D). (D + A-B), [D + 2(A-B)]. ..., 



qui contiennent les systèmes linéaires [D|, |D + A — B|, |D -t- 2( A — B)|. ... (pourvu 

 que ces systèmes existent, comme on peut le supjjoser lorsque la courbe D est clioisie 

 dans un système régulier convenable), ont les caractères du premier d'entre eux. 

 Puisque sur une surface algébrique les courbes d'un ordre donné se distribuent en un 

 nombre fini de systèmes algébriques, on en conclut que la série (4) renferme un nombre 

 limité de termes distincts, c'est-à-dire que aA = o(B, où a(ii) est un entier positif. 



2. On peut présenter sous une forme transcendante la condition pour 

 que les courbes C,, Cj, ..., Q soient algébriquement dépendantes, en 

 ayant égard aux intégrales de différentielles totales {intégrales de Picard) 

 attachées à la surface. 



Si, en effet, les courbes C,, . . ., C/i sont liées par la relation (i) ou (2), il existera 

 un système oo', algébrique et irréductible S, dont 



X,C,-i-...4-),,C,(=A) et |j.,_„C,+, -+-...+ iJ./,C/,(=B) 



sont deux courbes totales. Désignons par o une courbe jjlane dont les points représen- 

 tent les courbes de S, par a, b les points de cp homologues des courbes A, B, par $,, 

 ^j, . . . , ^v les V points de (p qui représentent les courbes de S issues d'un point {xyz) 

 de F, et enfin par ra une intégrale abélienne de troisième espèce, avec les deux points 

 singuliers logarithmiques a, b. La somme t5(?,) -1- 73(^2) -h. . .-H tn(^v) est égale à 

 la valeur d'une certaine intégrale de Picard !„ au point (.2;/^), et comme elle demeure 

 finie lorsque le groupe (?,, ^2» •■•i^v) ne contient aucun des points a, b, l'inté- 

 grale J deviendra infinie logarithmiquement aux seuls points des courbes C,, Gj, ..., C/,; 

 c'est-à-dire que J sera de troisième espèce, avec les seules courbes logarithmiques Ci, 

 C2, ...,Ca. 



Réciproquement, si l'on peut former sur F une intégrale J de troisième espèce, ayant 

 les seules courbes logarithmiques Cj, ..., C/,, avec les périodes polaires respectives 

 c,, . . ., C/,, la somme des résidus de l'intégrale abélienne de troisième espèce, qu'on 

 obtient en regardant J comme une fonction d'un point variable sur une courbe irré- 

 ductible D de la surface, doit être nulle, et donc, en désignant par (C,D) le nombre 

 des points communs aux courbes Ci et D, on aura 



(5) c,(C,D)+c,(C2D)-i-... + o,(C;,D) = o. 



En prenant successivement, pour courbe D, chaque courbe d'un groupe convenable, 



