SÉANCE DU 20 FÉVRIER I9o5. 489 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - La série de Taylorsur le cercle de convergence. 

 Note de M. Paul Dienes. 



M. Pfingsheini a démontré (') le théorème suivant : 

 Étant donnée une fonction analytique 



par son dé^^eloppement taylorien de rayon de convergence égal à L'unité, si la 

 suite 



(S) l^oLi^,', ...,Unl = |«o + «. + ••• + ««!' ••• 



a pour limite l'infini, c'est-à-dire n'a pas de points limites finis ou nuls et si la 

 différence des arguments des s, est inférieure en valeur absolue à-^, la fonc- 

 tion f{x) devient infinie au point i . 



Nous pouvons compléter ce résultat de la manière suivante : Admettons 

 que la suite (S) des s„ (qui seront réelles comme les a„ pour plus de sim- 

 plicité) ait pour limite supérieure l'infuii, mais supposons qu'elle ait aussi 

 des points limites finis ou nuls. Ce cas étant beaucoup plus compliqué que 

 le précédent, nous nous bornerons à supposer que les coefficients aient, 

 en valeur absolue, une limite supérieure finie. Dans ces conditions, nous 

 pouvons démontrer le théorème suivant : 



Si, pour les s,, positifs, on a 



(2) iTl^"""^ 



et, pour les s„ négatifs, 



où a est un nombre fini, la fonction la^x" devient infinie au point i. 

 Nous démontrerons en effet que, dans le cas indiqué, on n 



(4) 



jué, on a 

 lim— = o 



, = .'So + *i 



(1) Munchner Suzungsberichte, 1900, p. 4o- 

 C. R., 19' 5, I" Semestre. (T. CXL, N° 8.) 



