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et que -r,, est positif pour n assez grand. Alors, en appliquant le théorème 

 (le ]M. Cesaro (') sur les fonctions 



(i-joy 



./•(■^) 



(1- j:-)- 



y'^,.^•' 



nous aurons 



lim — .. ' =: hm—r — - — uni — = o, 



{i-xy- 



c'est-à-dire nous obliendrons le théorème énoncé. Pour établir l'éga- 

 lité (4), nous procédons comme il suit. Supposons que 



I i m 1 «„ I < <^/ < I , 



ce qui n'est pas une restriction nouvelle, vu que nous avons supposé celte 

 limite supérieure finie et qu'en divisant la fonction par une constante con- 

 venable, les propriétés de la fonction resteront les mêmes. Dans la suite 

 finie 



le nombre des termes qui sont plus grands que n'- est au moins 



! -1 ' 



/r . a„ — rr = ir ( y.„ — i ) 



si n^a„ est la plus grande des valeurs de 5,, .v,, . . ., i„, à cause de la peti- 

 tesse des coefficients «„ qui constituent les s„. [D'après notre hypothèse (2), 

 lima„= co .] Donc quand nous formons 



les termes considérés tout d'abord donnent une somme supérieure ou 



égale à «-.«•'(a,,— t), c'est-à-dire que cette partie de c„ devient infinie 

 d'ordre supérieur à i. Les autres termes positifs ne diminuent point cet 



(') Voir, par exemple, Borel, Leçons sur les séries à termes positifs, p. 66. 



