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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentieUes du second ordre 

 renfermant un paramètre. Note de M. G. Tzitzéica. présentée p.n- 

 M. Emile Picard. 



Dans une Note publiée dernièrement, j'ai appliqué la méthode de 

 M. Picard à un problème traité par M. Mason et relatif à l'équation 



(i) Y"+lk(.T)y = 0. 



k{x) étant une fonction continue et positive dans l'intervalle (a, h) et 1 un 

 paramètre. Je vais indiquer maintenant comment on peut employer la 

 même méthode pour étudier les autres problèmes résolus par M. Mason. 

 1. Il s'agit d'abord de trouver la valeur de 1 pour laquelle (ï) a une 

 intégrale y{x) continue ainsi que sa dérivée première, vérifiant les condi- 

 tions y {a) - a/ (a) = o, y{b) + p/(i) = o (a, p des constantes positives) 

 et ne s' annulant pas dans (a, b). La méthode de M. Picard s'applique ici 

 sans la moindre difficulté. Il suffit de remarquer que la solution de 

 y" -¥- A (a;) = o vérifiant les conditions précédentes est 



^(-)=^^fi^/A(.)(. +.-.)./.-,, 



:/"a(.)(, 





et que cette intégrale est constamment positive dans {a,b). Ln suite des 

 raisonnements et des calculs dans le cas où a = p = o est précisément 

 celle qui a été donnée par M. Picard. Dans le cas où a = p = o), la valeur 

 de > correspondante est nulle; ce n'est qu'en cherchant des intégrales 

 s'annulant un certain nombre de fois dans (a, b) que l'on trouve pour \ 

 des valeurs différentes de zéro. D'ailleurs, dans ce dernier cas, le problème 

 se réduit à celui que j'ai étudié dans la Note mentionnée. 

 2. Considérons maintenant l'équation 



(2) y"+kA{x)y=o, 



où k{x) est positive, périodique et a pour période b — a. Soit y5:,,/f.,, ... 

 la suite qui intervient dans le problème de M. Picard. Je dis qu'en général 



