SÉANCE DU 20 FÉVRIER tpoS. ^9^ 



il y a une valeur k' comprise entre /•, et k, et pour laquelle (2) arlmet une inté- 

 grale périodique. Voici d'abord le principe de la démonstrafon 



Je considère une intégrale u(x) de (2) telle que l'on a,t u(a)=u(h)=^, 

 et qui dépend naturellement de k. S. je démontre que pour X- = /t on a 

 f\(.) uOr) cl. = o, on aura (^)^^^ = (^£)^^^ et l'intégrale sera pé- 

 riodique. Or, on a pour k < k, le développement suivant : 



alors l'intégrale I(;t) = f"A(.x-) «(^)c/.r pourra, pour ^ = /î-', > >t,. mais 

 très voisin de^,, s'écrire 



!(/[:;)=.— ^y k{x) u' dx -^ . . . 



et, pour k = k'^<ik2, 



i(^;) = — ^^ A{x)i''dx + ..., 



les termes non écrits pouvant être négligés. Il est aisé de voir que 

 f\(x)u' r/.r > o et l'on peut démontrer que f \(x)i''dx>o. Dans le cas 

 général on a f" A(x)^>' dx> o et alors de I(^;)<o, I(^;)>o on lire 

 qu'il y a l{k') = o(k,<k'<k,); l'intégrale correspondante u(x) sera 

 périodique. 



Dans le cas spécial où f k{x)v' dx = o il y a aussi une intégrale pério- 

 dique, c'est v'{x), qui satisfait à l'équation (2) pour k = k.. 



En employant cette méthode on arrive à démontrer tous les résultats de 

 M. Mason. 



(') Picard, Traité, l. III, p. 



