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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégranon approchée des équations diffé- 

 rentielles. Note de M. Emile Cottox, présentée par M. Emile Picard. 



Dans la mélhode d'approximations successives développée par M. Picard, 

 et perfectionnée par M. Lindelëf, on prend pour premières valeurs ap- 

 prochées les valeurs initiales des intégrales. En leur substituant des fonc- 

 tions satisfaisant aux mêmes conditions initiales que les solutions cherchées, 

 on parvient à des résultats simples, que je me propose d'indiquer ici. 



1. Pour abréger, restons dans le champ réel, et considérons une seule 

 équation 



^^> % =/(-. V). 



Soit j, une fonction de x satisfaisant aux conditions suivantes : 



Dans un intervalle (I) (*o. ^« + «, « > o), cette fonction est bien dé- 

 finie, continue, admet une dérivée qui peut être discontinue pour des 

 valeurs isolées de x. 



De plus, dans le domaine D limité par les lignes a; = a;„, x = x^+a, 

 Y = J, - ^,y=y, + ^K^>>^)'f(x,y) est bien définie, continue, ei satis- 

 fait à la condition de Lipschitz |/(ic, y) - f(^x,Y')\<:_k\y - v'|. 



Soient r„ la valeur de y, pour x = x,„ m un nombre'siipéricur an mo- 

 dule de/(,r, y) - Ig l,)rs([ue x, y reste dans D, jx un nombre supérieur 

 au module de/(.r. y,)_ g lorsque x reste dans (I). Appelons h un 

 nombre positif inférieur à « r!, au plus grand des deux nombres -, 

 -log(^,+ _j. 



Dans l'intervalle x„ x, + h, il existe une intégrale Y de V équation (i), 

 et une seule, continue, prenant pour x = x„ la i^aleur j„, et le module de la 

 différence Y — y, est inférieur à ^ [e*'''-^; - i]. 



^ Ce résultat s'établit soit en procédaiil comme M. Picard et M. Lindelëf 

 l'ont fait lorsque y,{x) = y„ soit en ramenant le cas général à ce cas 

 particulier au moyen du changement d'inconnue j(a^) =j, (a;) -t- u{x). 



On voit que, si [j. est petit, ce qui précède fait correspondre, à toute fonction 

 satisfaisant à peu prés à l'équation différentielle, un renseignement sur l'exis- 

 tence et la valeur approchée d'une solution exacte. 



