SÉANCE DU 20 FÉVRIER IpoS. %5 



2. Montrons maintenant que la connaissance d'un intervalle (E) où il 

 existe une intégrale régulière de {i) permet de donner un critérium simple ser- 

 vant à reconnaître quune fonction donnée est assez près de satisfaire à l'équa- 

 tion différentielle pour ne s écarter de la solution exacte, dans tout V inter- 

 valle (E), que d'une quantité inférieure à un nombre donné. 



D'une façon précise, soit Y une intégrale de (i), définie dans l'inter- 

 valle (E), [^„ x^ + /i(A >o)], continue, prenant pour a; = a;„ la valeur j„ 

 et supposons que, dans le domaine A limilé par les lignes x = x^, 

 x = x,-hh, y = Y—t, J = Y+ e(£>o), la fonction /(a;,/) soit con- 

 tinue et satisfasse à la condition de Lipschitz. 



D'autre part, u étant une fonction de x définie et continue dans 

 l'intervalle (E), prenant la valeur jg pour x = x„, admettant une dérivée 

 (qui peut être discontinue comme plus haut), appelons <j. un nombre su- 

 périeur à \f(x,u)—-^\ dans l'intervalle (E). 



Si [j. esc assez petit pour que 



(2) f(e--0<^. 



la différence Y — u est inférieure en module à 5 dans tout l'intervalle (E) et, 

 d'une façon plus précise, x appartenant à (E), on a 



Pour le démontrer, observons que, u étant continue, il existe un inter- 

 valle (E')[x„, Xg -+- h'(o < h'^/i)] où l'on a ] Y — m |< s. Nous prendr-ons h' 

 aussi grand que possible: pour la valeur limite x^-hh', |Y — u\ = i, si 

 h'<:h. 



On peut écrire 



Y - ^^ = f" 1 y C^r, Y ) - f(x, u)\ dx -K / ' ' [y {x, U) - '^'^ dx, 

 et, en supposant x intérieur à (E'), 



(3) |Y-m|<X-/" \Y -u\dx-^'j.(x-x,). 



Faisons pas:,er l'intégrale dans le premier membre, nous pouvons écrire 

 l'inégalité obtenue de la façon suivante 



^ ^e-^^^-^.^fjY - u\dx~^<lJ.(x - x,)^ 



