SEANCE DU 27 FÉVRIER igoS. 563 



f;.=a, 



A|| désignant le mineur relatif au premier clénient du déterminant. 



La condition A,| = o donne les familles de surfaces moulures cylin- 

 driques. Reste la condition 1'^.,= o. Donc, si l'on écar/e les familles de sur- 

 faces moulures cylindriques, la condition nécessaire et suffisante pour que la 

 famille u(œ, y, z) = f adm'tle des trajectoires orthogonales planes dans des 

 plans parallèles à Ox et constitue une famille de Lamé, est que la fonction 

 M(.r, y, z) satisfasse à une équation de la forme 



A c/ B désignant deux fondions quelconques de a. 



Si, d'après une mélhode donnée par M. Darboux, on recherche une solu- 

 tion complète de la forme 



(.r — c/ )- 4- ( v — V )'- 4(2 — »-•)- — R'' — o, 

 on trouve que v et w sont des constantes et que l'on peut prendre 



a = f^(M) -t- xc" -I- l^er". R = a', 



(p(») désignant une fonction quelconque, a etp deux nouvelles constantes. 



De cette solution complète nous déduisons la solution générale. D'où le 

 résultat suivant : 



1° Toutes les familles de surfaces re|)résentées par les équations 



/ ' ^ „ y — '' - — " u. 9' -- 4'^" 



(x — 'Si -h o )c" = ■-— I — =: — j = 2e" — , ; 1 , , , o . ^,. 



sont des familles de I^amé et admettent des trajectoires orthogonales planes 

 dans des plans parallèles à Ox. 



■2" Réciproquement, si l'on écarte les familles de surfaces moulures cy- 

 lindriques, toutes les familles de Lamé admettant de telles trajectoires 

 orthogonales sont comprises dans ces formules. 



3° On obtient les surfaces de la famille en laissant u constant. On obtient 

 les trajectoires orthogonales en laissant r, w constants. 



Eu particulier, l'équation du plan de la courbe est 



