564 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



(p(«) esL une fonction quelcon jue de ;/; y(r, (v) une fonclion quel- 

 conque de (', «'. 



4° Si l'on sait déterminer les lignes de courbure d'une surface de la 

 famille, on aura, sans nouveaux calculs, deux familles de surfaces à lignes 

 de courbure planes dans un système. 



5° En particulier, si çp = o, les courbes trajectoires sont des cercles. 



Lignes de courbure. — Si l'on forme l'équation des lignes de courbure, 

 on arrive à l'équation remarquablement simple 



Elle ne dépend pas de la fonction <s^{u) et seulement du rapport — 



Vl2 



Toutes les familles correspondantes ont donc même représentation des 

 lignes de courbure. On intègre facilement l'équation toutes les fois que 



1° En ()arliculier, si i|/((', «') est à variables séparées, les formules don- 

 nées plus haut déterminent un système triple orthogonal. On obtient les 

 familles du système triple en laissant constant un des trois paramètres u, 

 V, w. On obtient les trajectoires orthogonales en laissant constants v, n- ou 

 w, u ou u, ('. 



1° chacune de ces familles admet des lignes de courbure planes dans 

 les deux systèmes. Les plans sont respectivement parallèles aux trois axes 

 de coordonnées. Ils enveloppent tlonc un cylindre dans chaque cas. Deux 

 cylindres correspondant à deux surfaces de la même famille peuvent être 

 amenés à coïncider par une translation parallèle à cet axe suivie d'une 

 dilatation parallèlement au même axe. Ces familles dépendent de trois 

 fonctions arbitraires d'une variable. 



J'ai traité de la même façon le cas oii les plans des courbes trajectoires 

 passent par un point fixe. 



GÉOMÉTRIE. — Sur les su/faces algebrifjues de genre zéro. Note de 

 M. Fedebigo EiVbiques, piésentée par M. Emile l'icard. 



La propriété des surfaces algébriques irrégulières que j'ai eu l'honneur 

 de communiquer récemment à l'Académie m'a amené à déterminer toutes 



