SÉANCE DU 27 FÉVRIER ipoS. 565 



les surfaces, birationnellement distinctes, de genre géométrique /?„ = o et 

 de genre numérique /?„<[ o. En conséquence je suis parvenu à exprimer 

 d'une façon très simple les conditions pour qu'une surface /(a;, y, :■) = o 

 puisse être transformée en un cylindre F( X, Y) = o. 



On a d'abord les théorèmes suivants ; 



Une sur/ace de genres 



/>„=0, Pa<-1 



correspond toujours à un cylindre (dont la section plane a le genre — p„). 

 Une sur/ace de genres 



"s = "' P„ -= - ' . 



admet un groupe continu de transformât ion s birationnelles en elles-mêmes, 

 groupe dépendant d'un paramètre d'une façon elliplique; les courbes (ellip- 

 tiques) trajectoires du groupe forment sur la surface un faisceau rationnel. 



Les surfaces admettant un groupe elliptique ce' de transformations birationnelles en 

 elles-mêmes ont été signalées d'abord par l'analyse profonde à laquelle M. Picard a 

 soumis le problème général des groupes algébriques; M. Painlevé, en poursuivant 

 l'étude de ces surfaces, a établi qu'elles admettent une représentation paramétrique 

 caraclérislique, à l'aide de fonctions algébriques d'un paramétre, et elliptiques d'un 

 autre. C'est pourquoi les surfaces qui nous occupent peuvent être appelées des sur- 

 faces ellipliqaex. 



Les surfaces elliptiques n'ont pas, en général, le geure 



/V = o; 



mais il sulllt pour cela que les trajectoires du groupe correspondant forment un 

 faisceau rationnel. 



La représentation paramétrique citée permet maintenant de construire tous les types 

 de surfaces elliptiques de genre p^^izo; la construction de celles qui ne se ramènent 

 pas à des cylindres constitue un problème de transformation de fonctions elliptiques. 

 Le cas où le déterminant 7j{>i) de la transformation est un nombre composé se 

 ramène au cas de /i nombre premier, auquel nous nous bornerons ici, pour plus de 

 simplicité. 



On obtient aloi-s les types représentés par les ècpialions suivantes : 



t>\i, /i,<n, /(,+ Aa -H. . . -t-/i;=o (mod«), 



U = /uo, 12' =w', ro = (o 



