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Il est aisé de trouver un caractère simple invariant qui distingue les sur- 

 faces elliptiques (i) des cylindres. 



Étant donnée, en général, une surface /(a;, j, s) = o d'ordre m et de 

 genre /)„= o, il y a lieu de considérer les surfaces 'ar{m->.) d'ordre r{m — 4) 

 ('■> i), qui se comportent, le long de la courbe double de/, comme si 

 celle-ci avait pour ç la multiplicité /■; le nombre P,. des 9;.(,,,_j, linéairement 

 indépendantes constitue un caractère invariant de/, ainsi que je l'ai dé- 

 montré en 1896; on appelle P, le gertte d'ordre r de la surface /; on a 

 d'ailleurs 



Or, en calculant P^ pour les surfaces (1), on trouve 



Po = ^ - 3 

 et, pour / = 3, 



P,>i 

 ou bien 



tandis cpie pour les cylindres on a toujours 



P,= o (r= 1,2,:;. ...). 



Il en résulte ainsi une expression simple des conditions jjour qu'une sur- 

 face de genre /?„•< o puisse être ramenée à un cylindre; il suffit que l'on ait 



Or, si/?,;=o, ces mêmes conditions entraînent la rationalité de la sur- 

 face, car les conditions établies par JM. Castelnuovo (^^=P^ = o) se 

 trouvent satisfaites. 



On aura donc le théorème suivant : 



Les conditions pour quiine surface algébrique f{x, y, s) = o puisse être 

 Iransfotmée birationnellemenl en un cylindre F(X, Y) = o s expriment sim- 

 plemenl par les équations 



l', = P.,= o. 



